İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının analiz alanındaki argümantasyon ve ispat süreçlerinin incelenmesi

Abstract

Bu çalışmada ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının analiz alanındaki argümantasyon ve ispat süreçlerinin ortaya çıkarılması amaçlanmıştır. Ayrıca, bu süreçleri ayrıntılı olarak açıklayabilmek için öğretmen adaylarının ispata yönelik görüşleri ve analizin temel tanımlarını anlama şekilleri incelenmiştir. Çalışmanın araştırma grubunu 2013-2014 eğitim öğretim yılının bahar yarıyılında, bir devlet üniversitesinin üçüncü sınıfında öğrenim gören sekiz ilköğretim matematik öğretmeni adayı oluşturmaktadır. Çalışmanın pilot uygulaması ise 2013-2014 eğitim öğretim yılının güz yarıyılında, aynı üniversitenin ilköğretim matematik öğretmenliği bölümünün son sınıfında öğrenim gören 10 öğretmen adayı ile yürütülmüştür. Araştırma grubu, amaçlı örnekleme yöntemlerinden ölçüt örnekleme yöntemiyle seçilmiştir. Nitel araştırma yaklaşımının benimsendiği çalışmanın verileri, Matematiksel İspata Yönelik Görüşme Formu (MİYGF) ve dört adet etkinlik temelli klinik mülakatlar yardımıyla toplanmıştır. MİYGF yardımıyla öğretmen adaylarının ispatın anlamı, amacı, önemi, faydaları, başarılı olunan ispatlar, ispatları öğrenme yöntemleri, doğru ispatın özellikleri, kendilerini matematiksel önermelerin doğruluğuna ikna olmak ve başkalarını ikna etmek için kullandıkları gerekçeler hakkında görüşleri alınmıştır. Etkinlik temelli mülakatlar ile öğretmen adaylarının sırasıyla analizin temel konuları olan `fonksiyonlar`, `diziler`, `limit ve süreklilik` ve `türev` konularındaki temel tanımları anlama şekilleri, argümantasyon ve ispat süreçlerine yönelik becerileri incelenmiştir. Her etkinlik temelli mülakatta başkası tarafından yapılan ispatların doğruluğunu değerlendirme, matematiksel önermelerin doğruluğunu belirleme, ispat yapma ve problem çözme etkinlikleri yer almaktadır. Öğretmen adaylarının argümantasyon süreçlerini ortaya çıkarabilmek adına öğretmen adaylarının matematiksel önermelerin doğruluğuna ikna olmak ve matematiksel iddialarını savunmak için ürettikleri tüm argümanlar Toulmin modeline göre analiz edilmiştir. Öğretmen adaylarının ispat süreçlerine yönelik ispat değerlendirme ve ispat/ters örnek üretme becerileri incelenmiştir. Ayrıca öğretmen adaylarının argümantasyon süreçleri ile ispat süreçleri arasındaki ilişki yapısal olarak analiz edilmiştir.Çalışma sonucunda öğretmen adaylarının tamamının ispatın anlamı, amacı ve önemine yönelik olumlu görüşlere sahip olmalarına karşın, öğretmen adaylarının bir kısmı öğrendikleri ispatların kendilerine faydalı olmadığı ve ispatların öğretiminin anlamsız olduğunu ifade etmişlerdir. Öğretmen adaylarının bir kısmı da matematiksel iddialarının doğruluğuna ikna olmak ve matematiksel iddialarını savunmak için informel yollara başvurduklarını belirtmişlerdir. Bazı öğretmen adayları analizin temel konularındaki tanımları kavramsal olarak anlamakta güçlük yaşamışlardır. Bu güçlüklerin öğretmen adaylarının tanımlarda yer alan topolojik kavramların ve sembollerin anlamını bilmemelerinden ya da yorumlayamamalarından kaynaklandığı belirlenmiştir. Öğretmen adaylarının argümantasyon süreçlerinde ürettikleri argümanların analizi sonucunda, kendilerini ve başkalarını bir matematiksel önermenin doğruluğuna ikna etmek için kullandıkları gerekçelerin bir sınıflaması elde edilmiştir. Elde edilen bu gerekçelerin dışsal, referanssız, deneysel, görsel ve dedüktif olmak üzere beş ana kategori altında toplandığı tespit edilmiştir. Öğretmen adaylarının başkası tarafından yapılan ispatları değerlendirmede, önermelerin doğruluk değerini belirlemede ve ispat veya ters örnek üretmede güçlük yaşadıkları belirlenmiştir. Yaşanılan güçlükler ile ispata yönelik görüşlerin ve analizin temel konularındaki tanımları anlayış şekillerinin ilişkili olduğu ortaya çıkmıştır. Öğretmen adaylarının analiz alanındaki argümantasyon ve ispat süreçleri arasındaki ilişkinin yapısal incelenmesi sonucunda, iki süreç arasındaki yapısal boşluk ve spontane sürekliliğin geçerli bir ispat yapmanın önündeki engellerden biri olduğu tespit edilmiştir. Öğretmen adaylarının iki süreci arasındaki yapısal süreklilik ise ispatlama sürecini kolaylaştırmıştır. Ayrıca çalışma sonucunda öğretmen adaylarının ispata yönelik görüşleri, analizin temel konularına yönelik kavramsal bilgileri, ilgili derslerden elde ettikleri akademik başarıları, argümantasyon ve ispat süreçleri birbiri ile karşılaştırılarak elde edilen örüntüler sunulmuştur. Çalışma sonunda üniversite düzeyinde analiz derslerinin öğretiminden sorumlu öğretim elemanları ve konu ile ilgilenen araştırmacılar için önerilere yer verilmiştir.

In this study, it was aimed to reveal out the preservice elementary mathematics teachers' argumentation and proof processes in the domain of analysis. The views of preservice teachers about proof and their ways of understanding the basic definitions of the domain of analysis were also studied in order to be able to explain these processes in details. The research group of the study consisted of eight preservice elementary mathematics teachers who were studying their third year in the spring term of the 2013-2014 academic year at the state university. The pilot study was performed with 10 preservice elementary mathematics teachers who were studying their final year in the fall term of the 2013-2014 academic year in the same university. The members of the research group were selected according to the criterion sampling method that is among the purposeful sampling methods. The data of the study which adopted qualitative research approach were obtained through the Mathematical Proof Interview Form (MPIF) and four task-based clinical interviews. Through the MPIF, information was obtained regarding the preservice teacher' views about the meaning, purpose, significance and benefits of proof, successful proofs, the ways to learn the proofs, characteristics of a valid proof and the warrants they used to get themselves and the others convinced about the accuracy of a mathematical proposition. Task-based interviews were made to study the preservice teachers' ways of understanding the basic definitions in the fields of `functions`, `sequences`, `limit and continuity` and `derivatives` and to learn about their skills in the argumentation and proof processes. Each task-based interview included the analysis of the proofs asserted by others, assessment of the accuracy of the mathematical propositions, proving and problem solving activities. In order to reveal out the argumentation processes of the preservice teachers, the Toulmin model was used to analyze the arguments created by the preservice teachers in order to get convinced about the accuracy of the mathematical propositions and to justify their mathematical claims. Proof assessment and generating proof/counterexample skills of the preservice teachers were studied to gain information about their proving processes. Furthermore; the relationship between the argumentation processes and proof processes of the preservice teachers was studied in terms of its structure. Although all the preservice teachers had positive views on the meaning, purpose and significance of proof at the end of the research, some of them expressed that; the proofs they had learnt had no use for themselves and that, proof teaching was pointless. Some preservice teachers stated that; they were referring to informal methods to get convinced about the accuracy of mathematical propositions and to justify their mathematical propositions. Some preservice teachers had difficulties in understanding the conceptual structure of the definitions of the basic subjects of analysis. These difficulties were found to be arising from the fact that; the preservice teachers either did not know the meanings of the topological concepts and the symbols included in the definitions or they were unable to interpret those. The analysis of the arguments created by preservice teachers during the argumentation processes revealed out a classification of the warrants they were using to get themselves and the others convinced about the accuracy of a mathematical proposition. These warrants were observed to be classified under five basic categories as; external, non-referential, experimental, visual and deductive. Preservice teachers were found to experience difficulties in assessing the proofs made by the others, assessing the accuracy of the propositions and in generating proofs or counterexamples. The difficulties experienced were found to be related to the views about proof and the ways of understanding the definitions of the basic subjects of analysis field. The structural analysis of the relationship between the argumentation and proving processes of the preservice teachers in domain of analysis indicated the structural gap between the two processes and the spontaneous continuity as the obstacles preventing the generating of a valid proof. On the other hand; the structural continuity between the two processes of the preservice teachers facilitated the proof process. At the end of the research, preservice teachers' views about proof, their conceptual knowledge about the basic subjects of analysis, their academic success in relevant lessons, and their argumentation and proof processes were compared with each other, and the resultant patterns were presented. Finally; suggestions were given for the academicians who were lecturing in analysis lessons in the universities and for the researchers who were interested in this subject.