Self-dualite ve tamamen çözülebilir sistemler

Abstract

ÖZET Bu çalışmada lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin (1+1) boyutta çözülebilirliği incelenmektedir. Bu denklemlerin çözülebilirliğini göstermek için çeşitli yöntemler vardır. Bu yöntemler KdV (Korteweg-de Vries), mKdV (modified Korteweg de Vries), lineer olmayan Schrödinger denklemi ve Sine-Gordon denkleminde gösterilmiştir. Abelian ayar teorileri ve abelian olmayan ayar teorileri incelenerek Yang-Mills ayar teorisinin Self-dualite şartı ile (1^1) boyutta tamamen çözülebilirlik arasındaki ilişki ortaya konulmuştur. Self-dual Yang-Mills (SDYM) denklemlerinin iki lineer denklemin çözülebilirlik şartından elde edilebileceği gösterilmiştir. SDYM denklemlerinde simetri yardımı ile boyut indirgemesi yapılarak AKNS denklemlerine benzer denklemler elde edilmiştir. Örnek olarak KdV ve lineer olmayan Schrödinger denklemleri SDYM denklemlerinden elde edilmiştir. iv

ABSTRACT In this work the integrability of non-linear partial differential equations are studied in (1+1) dimension. There are various methods to show the integrability of the non-linear partial differantial equations. These methods are investigated for integrability of KdV (Korteweg de Vries), mKdV (modified Korteweg-de Vries), nonlineer Schrödinger equation and Sine-Gordon equations. An introduction to abelian and non-abelian gauge theories is given. There exists a relationship between slf-duality condition of Yang-Mills gauge theory and the integrability condition in (l+l)-dimension. Shown that self-dual Yang-Mills (SDYM) equations can be derived from the integrability condition of two lineer equations. AKNS type equations equations are induced by making dimensional reduction in SDYM equations. KdV and nonlinear Schrödinger equations are obtained from SDYM equations as an example.