On sections and tails of power series

Abstract

ÖZET KUVVET SERİLERİNİN KISMİ TOPLAMLARI VE KUYRUKLARI ÜZERİNE Natalya Zheltukhina Matematik Bölümü, Doktora Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Iossif V. Ostrovskii Temmuz, 2002 Bu tez kuvvet serilerinin kısmi toplamlarının ve kuyruklarının özellikleri arasındaki bağlantıları çalışmaya adanmıştır. Kuvvet serilerinin kısmi toplamlarının ya da kuyruklarının çoklu pozitif kat sayılı olanları ele alınmış ve bunların artış hızı tahmin edilmiştir. Sonuçlarımız bu alanda daha önceden bulunmuş sonuçları, özellikle kuvvet serilerinin kısmi toplamları negatif katsayılı olanları üzerine olan ünlü Pölya teoremini, genişletmekte ve tamamlamaktadır. Ayrıca, derecesi birden büyük olan Mittag-Leffler fonksiyonlarının kısmi toplamlarının lineer kombinasyonlarının sıfırlarının asimptotik dağılımı da çalışılmıştır. Sonuçlarımız bu alanda da daha önceki sonuçları, özellikle de Szegö'nün üstel fonksiyonun kısmi toplamlarının lineer kombinasyonları üzerine ve A. Edrei, E. B. Saff ile R. S. Varga'nın Mittag-Lefner fonksiyonlarının kısmi toplamları üzerine olanlarını, genelleştirmekte ve tamamlamaktadır. Anahtar sözcükler: Laurent serisi, Mittag-Lefner fonksiyonları, m-katlı pozitif dizi, kuvvet serisi, kısmi toplamlar, kuyruklar, sıfır dağılımı.

ABSTRACT ON SECTIONS AND TAILS OF POWER SERIES Natalya Zheltukhina Ph.D. in Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Iossif V. Ostrovskii July, 2002 The thesis is devoted to the study of connections between properties of a power series and properties of its sections and tails. Power series having sections or tails with multiply positive coefficients are considered and their growth estimates are obtained. Our results strengthen and supplement previous results in this direction, in particular, the well-known Pölya theorem on power series with sections having only negative zeros. The asymptotic zero distribution of linear combinations of sections and tails of the Mittag-Leffler function E/jp of order p > 1 is studied. Our results generalize and supplement previous results in this direction, in particular, the well-known Szegö result on the linear combinations of sections and tails of the exponential function and the A Edrei, E.B. Saff and R.S. Varga results on sections of Ex/P. Keywords: Laurent series, Mittag-Leffler functions, m-times positive sequence, power series, sections, tails, zero distribution.