Conformal symmetries and Kać-Moody algebra in sigma models

Abstract

Bu çalışmada iki boyutlu sigma modellerindeki konformal ve Kać-Moody simetrilerini ele aldık. Analizimizi, bir hedef uzay katmanı ile iki boyutlu bir yer tabakasında değerlerini alan sigma model alanlarının klasik ve kuantum özelliklerini göz önünde bulundurarak yaptık. Açıkça ifade edebiliriz ki, klasik simetrilerin varlığı holomorfik stres-enerji tensörürünün varlığını gerekli kılar. Halbuki kuantum konformal simetrilerin varlığı ise konformal Ward biriminin varlığı ile sağlanmış olur. Ward birimlerinin holomorfik olarak ayrıldığını açık bir şekilde gösterdik. Klasik simetriler de-Witt cebiri ile gösterilirken konformal simetriler Virasoro cebiri ile gösterilir. Sigma modellerin Hilbert uzayının oluşturulmasında operatör formalizmine çok az temas ettik. Son bölümde, gizli simetri formalizmini etkili bir şekilde kullanarak sigma modellerdeki Kać-Moody simetrilerini çalıştık. Bu itibarla, Lax-pair denklemlerinin kompleks versiyonun oluşturduk ve gizli simetrileri araştırdık. Ve gizli simetri formalizminin Kać-Moody simetrilerini verdiğini gösterdik.

We discuss the conformal and Kać-Moody symmetries in two dimensional sigma models. We perform our analysis regarding the classical and quantum aspects of the sigma models whose fields are taking values on a target space manifold and living in a two dimensional world-sheet. We explicitly point out that existence of classical symmetries requires the on-shell holomorphic stress energy tensors. However, the quantum conformal symmetries are provided with the presence of conformal ward identities. We clearly demonstrate that ward identities are also split into holomorphic forms. While classical symmetries are presented by de-Witt algebra, conformal symmetries are configured by Virasoro algebra. We slightly touch the operator formalism with the construction of Hilbert space of sigma models. In the last chapter we work out the Kać-Moody symmetries of sigma models in a profound way by employing the hidden symmetry formalism. In this respect we establish the complex version of Lax-pair equations and investigate the hidden symmetries. We show that hidden symmetry formalism gives rise to Kać-Moody symmetries.