On the endomorphism rings of some module classes

Abstract

Modüllerin endomorfizma halkaları ve modüllerle endomorfizma halkalarıarasındaki ili¸ski uzun zamandır literatürde ilgi çeken bir konu. Son yıllarda, bir çokdeğişik modül sınıfının (eş-düzgün tanımlı modüller [Facchini and Girardi, 2010],yerel halka üzerindeki yinelemeli tanımlı modüller [Amini and Facchini, 2008],sıfırdan farklı indirgenemeyen injektif modüller arasındaki morfizmaların çekirdeği[Facchini et al., 2010], socle'ı iki belirli basit modülün dik toplamına izomorf olan artinmodüller [Facchini and Prihoda, 2010], vb.) endomorfizma halkalarının en fazla ikimaksimal ideale sahip olmaları ve Krull-Schmidt Teoreminin zayıf formunun geçerliolması durumlarında benzer davranışlara sahip oldukları ke¸sfedildi. Biz bu tezin ilkkısmında, yakın zamanda yapılan ve önemli gördüğümüz gelişmelerden bahsettik.İkinci kısımda ise, konuyla alakalı temel tanımlar ve içerikleri verdik. Üçüncü bölüme,daha önceden yapılmış olan çalışmalardan elde edilen sonuçları ekledik. Tezin sonbölümünde, yerel halka üzerindeki, projektif boyutu 1 ve birden küçük olan yinelemeli,sonlu tanımlı modüllerin endomorfizma halkalarının davranışını çalıştık. Bu modül sınıfı, yerelhalka üzerinde eş-düzgün tanımlı modüller sınıfını keyfi halkaya genişletir.

The endomorphism rings of modules and connections between a module and itsendomorphism ring have long been of interest. In recent years, it has been discoveredthat various classes of modules (such as, couniformly presented modules [Facchini andGirardi, 2010], cyclically presented modules over local rings [Amini and Facchini,2008], kernels of non-zero morphisms between indecomposable injective modules[Facchini et al., 2010], artinian modules whose socle is isomorphic to the direct sumof two fixed simple modules [Facchini and Prihoda, 2010], and so on.) have similarbehaviors as having at most two maximal ideals in the endomorphism ring and thevalidity of a weak form of the Krull-Schmidt Theorem. In the first chapter of thethesis, we summarize the recent developments and some important ones. In the secondchapter, we give basic concepts and definitions related to this topic. We add theresults of the previous studies to chapter three. In the last chapter of the thesis westudy the behavior of endomorphism ring of a cyclic, finitely presented module ofprojective dimension less or equal to 1 over a local ring. This class of modulesextends the class of couniformly presented modules over local rings to arbitrary rings.