Birinci mertebeden hiperbolik sistem için ters başlangıç-sınır değer problemleri

Abstract

Bu tez çalışmasında, sonlu ve yarı sonsuz aralıklarda birinci mertebeden hiperbolik denklem sistemleri için sırasıyla düz ve ters başlangıç-sınır değer ve ters saçılım problemleri göz önüne alınmıştır. İlk önce, sonlu aralıkta iki hiperbolik denklemden ibaret sistem için düz problemin teorik ve nümerik çözümleri için sırasıyla karakteristikler metodu ve sonlu farklar metodu kullanılmıştır. Bu sistemin katsayıları yalnızca mekan değişkenine bağlı olduğunda ters problem için karakteristikler metodunun ve yalnızca zaman değişkenine bağlı olduğunda ise sonlu farklar metodunun uygunluğu gösterilmiştir. Ayrıca nümerik yöntemin kararlılığı örneklerle desteklenmiştir. Daha sonra, sonsuzlukta sınır koşullu birinci mertebeden hiperbolik sistemin yarı eksende ikinci tip Volterra operatörü ile ifade edilebilen çözümünün mevcut olma koşulu belirlenmiştir. Bu koşul baz alınarak birinci mertebeden hiperbolik sistem için bazı kanonik formlar (Dirac sistem vs.) verilmiş ve yarı eksende birinci mertebeden hiperbolik sistem için ters saçılım problemine bu koşulun uygunluğu gösterilmiştir. Son olarak, sınır koşulunda singüler geçiş matrisi içeren stasyoner olmayan matris Dirac denklemi için yarı eksende ters saçılım problemi göz önüne alınmıştır. Geçiş matrisinin rankı ile ilişkili bir potansiyel sınıfı, saçılım operatörü vasıtasıyla tek şekilde belirlenmiştir ve saçılım operatörünün tasviri yapılmıştır.

In this thesis, the direct and inverse initial boundary value problems and inverse scattering problems for the first order systems of hyperbolic equations are considered on a finite interval and semi finite interval, respectively. First of all, the method of characteristics and the finite difference method are applied to the theoretical and numerical solutions of the direct problem for a first order system of two hyperbolic equations on a finite interval, respectively. Moreover the suitability of the method of characteristics for the inverse problem of finding solely space-dependent coefficients and the finite difference method for solely time-dependent coefficients of this system are shown. Also, the stability of the numerical method is supported by the examples. Then, a condition for the first order hyperbolic system on the half-axis (with a boundary condition at infinity) to have a solution that can be expressed by the second kind Volterra operator is we established. On the basis of this condition, some canonical forms (for instance Dirac-type system) of the first order hyperbolic system can be sorted. The suitability of this condition in inverse scattering problem for the first order hyperbolic system on the half-axis is given as an application. Finally, the inverse scattering problem for a non-stationary matrix Dirac equation on the half-axis with the boundary condition which includes a singular transmission matrix is considered. A class of potential related to the rank of the transmission matrix is determined for which such a potential is uniquely reconstructed from the scattering operator and the description of the scattering operator is given.