Ultrahiperbolik schrödınger denklemleri için bazı direkt ve ters problemlerin çözümlerinin kararlılığının araştırılması

Abstract

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm klasik ve ultrahiperbolik Schrödinger denklemleri için direkt ve ters problemler hakkında literatürde mevcut olan temel sonuçlara ayrılmıştır. İkinci bölümde, sözü edilen problemlerin çözülebilirliğinin araştırılmasında kullanılan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, kısmi türevli denklemler için Cauchy probleminin çözümünün varlığı ve tekliği ile ilgili literatürde yer alan başlıca sonuçlar ele alınmıştır. Dördüncü bölümde, ters ve kötü konulmuş problemler teorisinin bilim ve teknolojideki çeşitli uygulamalarına yer verilmiştir. Beşinci bölümde, bir ultrahiperbolik Schrödinger denklemi için yerel bir Carleman değerlendirmesi elde edilmiş ve bu değerlendirme kullanılarak Cauchy probleminin çözümünün Hölder kararlılığı gösterilmiştir. Son bölümde ise bir ultrahiperbolik Schrödinger denklemi için bazı ters problemler ele alınmış, elde edilen genel Carleman değerlendirmeleri yardımıyla bu problemlerin çözümlerinin koşullu Hölder kararlılığı ispatlanmıştır.

This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the main results on the direct and inverse problems for classical and ultrahyberbolic Schrödinger equations in the literature. In the second chapter, some basic definitions and theorems that are used to investigate the solvability of these problems are presented. In the third chapter, some of the major results in the literature on the existence and uniqueness of the solution of Cauchy problem for partial differential equations are discussed. In the fourth chapter, various examples of the applications of inverse and ill-posed problems in science and technology are given. In the fifth chapter, a local Carleman estimate for the ultrahyperbolic Schrödinger equation is obtained and the Hölder stability for the Cauchy Problem is proved. In the last chapter, we obtain a global Carleman estimate and prove conditional Hölder stability for some inverse problems for the ultrahyperbolic Schrödinger equation.