Modelling of autoregressive fields by two-dimensional lattice filters and their entropy properties

Abstract

Iki-boyutlu (2-D) autoregressive (AR) verilerin modellenmesinde, 2-D kafes süzgeçlerin kullanılması işaret işleme alanında yeni bir araş¬ tırma konusudur. Geliştirilmiş olan çeyrek-düzlemde tanımlı 2-D kafes süzgeçler, bir ileri yönde ve üç geri yönde olmak üzere dört öngörü hata alanının tek bir yapıda birleştirilmesi ile elde edilmişlerdir. Bu dört hata alanının doğrusal kombinezonları kullanılarak bir sonraki kat tanımlanır ve yansıma katsayıları olarak bilinen kafes süzgeç parametreleri hesap¬ lanır. Bu yapıdaki kafes süzgecin, her katta üç parametresi olduğu için tezde üç parametreli kafes süzgeç olarak isimlendirilecektir. Bu süzgeç, basit sekide gerçekleştirilebilir ve bazı ilişki özelliklerine sahip veriler için iyi sonuç verir. Ancak, bu süzgeçte, parametre sayısı süz¬ geç derecesi ile doğrusal olarak artmasına rağmen 2-D veri desteği kare- sel olarak artar. Bundan dolayı, bu süzgeçler, aynı dereceden tüm AR süzgeçlerin bir altkümesini oluştururlar. Bu tezde, veri desteğindeki artış göz önünde bulundurularak üç parametreli kafes süzgeç iki farklı şekilde değiştirilmiştir. Değişiklikler, ikinci katın girişinde, önceden tanımlanmış geri yöndeki öngörü hata alanlarını kullanarak iki yeni ön¬ görü hata alanı üretilerek yapılır. Bundan sonraki katlar altı hata ala¬ nının doğrusal kombinezonları şeklinde ve 12 parametre ile tanımlanır. Böylece AR veri alanı daha doğru şekilde modellenebilir. Değiştirilmişkafes süzgeçler modüler bir yapıya sahiptirler ve değiştirme işlemi istenildiği veya gerektiği kadar tekrarlanabilir. Bu da 2-D AR veri alanının tam olarak model lenmesini sağlar. Ayrıca, değiştirilmiş kafes süzgeç yansıma katsayıları ile modellenen AR veri alanı katsayıları ara sındaki ilişkiler çıkarılmıştır. Bilgisayar benzetişimleri ile değişti rilmiş kafes süzgeç yapısı değişik veriler için denenmiş, üç parametreli model İle karşılaştırılmış ve daha çeşitli giriş verisi için iyi sonuç verdiği gözlenmiştir. Veri desteğindeki nokta sayısı karesel olarak arttığından, kafes süzgeç derecesi iki veya daha büyük ise, giriş veri alanı geri yöndeki öngörü hata alanlarından elde edilemez. Bu geriye çevrilemez dönüşüm giriş entropisinin geri yöndeki öngörü hata alanlarının entropisi cin sinden hesaplanamayacağım göstermektedir. Böylece ortaya çıkan bilgi kaybının niceliği üç parametreli model için hesaplanmış ve değiştirilmiş kafes süzgeçlerin yol açtıkları kayıpla karşılaştırılmıştır. Kafes süz geçteki değişikliklerin bilgi kaybını azalttığı gözlenmiştir. Değişik liklerin tekrarlanması sonucunda veri alanı ve geri yöndeki öngörü hata alanları arasında bire-bir bir ilişki ortaya çıkmaktadır. Ayrıca, üç parametreli model için, geri yöndeki öngörü hatalara ait özilişki mat risi, kafes süzgeç parametreleri ve öngörü hata gücü cinsinden ifade edilmiştir. Üç parametreli kafes süzgecin çeşitli katlarında elde edilen ileri ve geri yöndeki öngörü hata alanları arasındaki ilişki özellikleri çıkarılmış ve bu ilişkiler, kafes süzgeç parametreleri ve öngörü hata gücü cinsinden basit ifadeler ile tanımlanmıştır.

ABSTRACT MODELLING OF AUTOREGRESSIVE FIELDS B¥ TWO-DIMENSIONAL LATTICE FILTERS AND THEIR ENTROPY PROPERTIES Modelling of two-dimensional (2-D) autoregressive (AR) data by the use of 2-D lattice filters is a new research area in signal pro cessing. The existing 2-D lattice filters with quarter-plane support are developed by combining four prediction error fields, namely one forward and three backward prediction error fields, into a single structure. The linear combinations of these four fields are used to define and to cal culate the lattice parameters, called reflection coefficients, of the next stage. The lattice structure thus developed has three parameters at each stage, thus referred to as three-parameter lattice filter in the thesis. It is simple to implement and gives satisfactory results for data that have certain correlation properties. However, this filter is only a subset of the all AR filters of the same order since the number of parameters varies linearly whereas the 2-D data support varies quad- ratically with the order of the lattice filter. In this thesis, the three-parameter lattice filter is extended in two different ways to take into account the growth in the data support. Extensions are achieved by generating two additional backward prediction error fields at the input of the second stage using the previously defined backward prediction error fields. Next stages are then defined by the linear combination öf six prediction error fields involving 12 parameters. This way the ARdata will be modelled more accurately. The extended lattice filters are modular and extensions can be repeated as many times as desired or as necessary which leads to complete modelling of the 2-D AR data. In addition, the relationship between the parameters of the extended lat tice filters and the coefficients of the AR data to be modelled is presented. By carrying out computer simulations, the extended lattice filters are compared with the three-parameter lattice filter for a num ber of different data fields and it is seen that extended filters give satisfactory results for a wider range of input data. Because of the quadratic growth of data support, input can not be recovered from the backward prediction errors when the lattice order is greater than or equal to two. This irreversible transformation imp lies that the entropy of the input data can not be calculated in terms of the entropy of the backward prediction error fields. The entropy lost thus encountered in three-parameter lattice filter, is calculated quan titatively and compared with the lost introduced by the extended lat tice filters. It is observed that extension decreases the entropy lost and repeated extensions lead to one-to-one correspondence between the input field and the backward prediction error fields. In addition, for the three-parameter lattice filter, an expression is derived to express the autocorrelation of the backward prediction errors in terms of the lattice parameters and the prediction error powers. Also, the correlation properties between the forward and the backward prediction error fields of the three-parameter lattice filter are derived and these correlations are represented by simple expressions in terms of lattice parameters and prediction error powers. The correla tion properties are confirmed with computer simulations.