Nonlinear dynamics of laser beam propagation in the constrained dielectric geometrics

Abstract

KISA ÖZET Bu çalışmada lineer olmayan kayıpsız bir ortamdaki laser ışınlarının ilerlemesini modelleyen küple lineer olmayan Schrödinger denklemlerinin hareketli dalga çözümle rinde karşılaşılan kararsız durumlar incelenmiştir. Hareketli dalga çözümleri doğada ve deneysel olarak gözlemlenebildiğinden fiziksel açıdan büyük öneme sahiptir. Hare ketli dalga çözümlerini aradığımız bu kısmi türevli diferansiyel denklemler Lie Simetri Grupları metodu ve özel bir çözüm tipiyle birinci mertebeden dört tane adi diferansi yel denkleme dönüştürülmüştür. Bulunan denklemler Hamilton formalizminde ifade edilmiş, lineer olmayan dinamik sistemler teorisinde iyi bilinen güç spektrumu ve Lyapunov üstelleri gibi sayısal metodlarla kararsız davranışları incelenmiştir. Yapı lan hesaplar sonucu sistemin kararsız davranış gösterdiği bir bölge bulunmuş, özellikle bu bölge civarında sistemin gösterdiği kaotik davranışa homoklinik karasızlığm ne den olabileceği gözlenmiştir. Bu kararsızlığa neden olabilecek en önemli etkenlerin sisteme güç girişi yani laser ışınlarının getirdiği güç ve yayıhm ortamının lineer olma yan yerel yapısı olduğu belirlenmiştir. Ayrıca, hareketli dalga çözümlerinin kararsız bölgede dallandıktan sonra hareketli dalga karakterlerini korudukları görülmüş ve ka rarsızlığın hareketli dalga çözümlerine karşılık gelen simetri grubu altında invaryant kaldığı sonucuna varılmıştır. Araştırma sonucu elde edilen bulgular yorumlanmış ve ileride yapılabilecek çalışmalara da ayrıca değinilmiştir.

IV ABSTRACT In this work, we have investigated the instability in some travelling wave (TW) solutions of a pair of coupled Nonlinear Schrödinger Equations (cNLSE) arising from laser beam propagation in lossless nonlinear optical media. The TW case is of par ticular interest because it represents solitonic wave propagation, one of the most important phenomena observed in experiments. Using the Lie Groups of Symmetries method and a special form of a solution, the cNLSE's are reduced to four coupled first-order nonlinear Ordinary Differential Equations (ODE). The resulting ODE are in Hamiltonian form and represent the TW character of the original equations. In order to understand the instabilities in the resulting equations, we have applied reli able numerical methods from Dynamical Systems Theory such as the power spectrum analysis and the Lyapunov Characteristic Exponent (LCE) calculation. As a result, we find the region of instability, and observe that this behavior is directly related to the input intensity, i.e., input power of the laser beam, and local behavior of the self-focusing nonlinear medium. The homoclinic instability observed here, has im portant theoretical implications. In addition, it is strongly emphasized that the TW solutions found here bifurcate to other TW solutions, indicating a bifurcation that preserves symmetries of the system. We have concluded this work by summarizing our findings and indicating possibilities for future extensions.