Tangent stiffness approach for the nonlinear finite element analysis

Abstract

KISA ÖZET Esas itibariyle birbirinden ayn üç ayn tip nonlineerlik göz önüne alınmıştır. Bunlar, a) Yüksüz geometriyi değiştirebilecek kadar önemli büyüklükte deformasyon yapabilen veya şekil değiştirmeleri birime yakın büyüklükte olan geometrik nonlineer sistemler, b) Gerilme şekil değiştirme eğrileri doğrusal olmayan veya yükleme sırasında akma sınırının ötesinde plastik bölgeye taşan elastoplastik davranıştı malzeme nonlineeı//ğ/ olan sistemler ve c) her iki nonlineer özelliği birden bünyesinde toplamış olan karışık nonlineeriiği bulunan sistemler olarak özetlenebilir. Çeşitli kırılma teorilerinin irdelenmesinden sonra plastik gerilme - şekil değiştirme ilişkilerini içeren Prandtl - Reuss denklemleri tanıtılmış ve hem parçalı plastik şekil değiştirme hem de toplam plastik şekil değiştirme teorileri ayrı ayrı incelenmiştir. Akma sınırının aşıldığı sonlu elemanlarda, özel bir `radyal geri dönü f algoritması kullanılarak, gerilme tansörünün nasıl- hesaplanacağı gösterilmiştir. Çeşitli nümerik hesap yöntemleri arasında, a) Normal, b) Yarı yüklemeli ve c) Orta noktada yüklemeli olmak üzere tüm parça parça yükleme metodları ile, eleman rijitlik matrisi her adımda değiştirilen ve değiştirilmeyen Newton - Raphson iterasyon metodları ayrı ayn ele alınmıştır. Geliştirilen genel bir nonlineer eleman üretme tekniği kullanılarak, genel üçgen, dikdörtgen ve piramit şeklindeki sonlu elemanlar için, en genel hali ile orijinal nonlineer teğetsel rijitlik matrisleri oluşturulmuş ve tüm ayrıntıları ile verilmiştir. Metodun uygulanmasını açıklayabilmek amacı ile, çeşitli nümerik örnekler de eklenmiştir.

IV ABSTRACT Basically, three types of nonlinearities have been identified Namely, a) the geometric nonlinearity in which the nodal deflections are significantly large to modify the original unloaded geometry, and there are finite strains close to unity, b) the material nonlinearity, in which not only the stress - strain constitutive law is nonlinear but also the stresses go beyond the yield point into the plastic range, and c) the combination of both the geometric and material nonlinearities. After a brief discussion of various yield criteria, the Prandtl - Reuss equations of plasticity have been introduced, on the basis of Incremental and Total Strain theories. To determine the state of stress at a particular finite element after the yield point, the so called `Radial Return` algorithm has been used. A number of numerical computational techniques have been described, including the a) Regular, b) Halved and c) Mid - point incremental load procedures, as well as the Newton - Raphson iteration schemes, with and without modifications of the stiffness matrices at each loading step. A family of original tangent stiffness matrices have been developed explicitly for the triangular, rectangular and tetrahedral finite elements. Finally, a set of numerical examples have been included to illustrate the proposed methodology.