Almost cubic nonlinear Schrödinger equation: Existence, uniqueness and scattering

Abstract

Bu tezde yerel olmayan terim içeren doğrusal olmayan iki boyutlu bir sınıfSchrödinger denklemi incelenmektedir. Bu denklem sınıfı kübik doğrusal olmayanSchrödinger denklemini içerdiği gibi indirgenmiş haliyle Davey-Stewartson sistemininhiperbolik-eliptik ve eliptik-eliptik durumlarıyla genelleştirilmiş Davey-Stewartson sistemininhiperbolik-eliptik-eliptik ve eliptik-eliptik-eliptik durumlarınıı da içerdiğindensunulan neticeler bu denklemler için de geçerlidir. L^2(R^2), H^1(R^2), H^2(R^2) ve /Sigma=H^1(R^2) /cap L^2(x^2 dx) gibi fonksiyon uzaylarinda zamana göre başlangıç sınır değerprobleminin varlık ve teklik neticeleri verilmekle birlikte sözü edilen çözümlerin maksimalvarlık zamanlarının aynı olduğu gözlenmektedir. Kütle , momentum, enerji gibibüyüklüklerin korunduğu, viryal özdeşliğin, sözde-konformal ve ölçek dönüşümlerinindenklem için geçerli olduğu gösterilmektedir. L^2(R^2) uzayındaki küçük başlangıç değerliçözümün, yoğulaşmama durumundaki H^1(R^2) çözümünün ve yoğunlaşma durumundakritik kütle altında bir kütleye sahip başlangıç değerli çözümün global varlık neticelerigösterilmekte, bu gibi durumlarda L^2(R^2) ve /Sigma topolojilerinde çözümlerin saçılmasıve son olarak benzer tipte daha genel doğrusal olmayan terimler için ifade edilen neticeleringeçerliliği incelenmektedir.

In this thesis, a unified treatment is given for a class of nonlinear non-local 2D ellipticand hyperbolic Schrödinger equation which includes the 2D nonlinear Schrödingerequation with a purely cubic nonlinearity, Davey-Stewartson system in the hyperbolic-ellipticand elliptic-elliptic cases and the generalized Davey-Stewartson system in thehyperbolic-elliptic-elliptic and elliptic-elliptic-elliptic cases. Local in time existenceand uniqueness of solutions are established for the Cauchy problem when initial datais in L^2(R^2), H^1(R^2), H^2(R^2) and in /Sigma = H^1(R^2) /cap L^2(x^2 dx) and the maximal timeof existence for the solutions all agree. Conserved quantities corresponding to mass,momentum, energy are derived, as well as scale and pseudo-conformal invariance ofsolutions. Virial identity is also established and its relation to pseudo-conformal invarianceis discussed. Various routes to global existence of solutions are also explored inthe elliptic case, namely, for small mass solutions in L^2(R^2); in the defocusing case forsolutions in H^1(R^2) and finally in the focusing case for H^1(R^2)-solutions with subminimalmass. In all such cases the scattering of such solutions in L^2(R^2) and /Sigma topologiesare discussed. Moreover, in the focusing case when initial energy is negative, it is shownthat solutions in /Sigma blow-up. The existence and uniqueness results are also consideredfor more general nonlinearities.