A comparison of identification techniques for fractional order systems

Abstract

Bu tezde çesitli sistem tanıma tekniklerinin kesirli dereceli deterministik doğrusalsistemler üzerindeki performansları karşılaştırılmıştır. Bu çalışmanın öncelikli hedeflerindenbiri, kesirli dereceli matematiğin tanıtılmasıdır. Bu bağlamda kesirli derecelimatematikte en çok kullanılan Cauchy, Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville ve Caputotürev ve integral tanımları incelenmiştir. Bu tanımların özellikleri ve Laplacedönüşümlerine yer verilmiştir. Kesirli dereceli diferansiyel denklemlerin analitik vesayısal çözümleri ile birlikte başlangıç koşulu problemi araştırılmıştır. Parametrik veparametrik olmayan tamsayılı sistem tanıma teknikleri üzerinde çalışılmıştır. İncelenenkesirli dereceli sistem tanıma teknikleri parametriktir ve öngörü hatasını küçültmeyedayanır. Kullanılacak olan kesirli dereceli diferansiyel denklemin yapısı siyah-kutuyöntemi gereği kullanıcı tarafından başta seçilir. Parametre vektörü zaman tanımkümesi ve frekans tanım kümesi metotları ile bulunabilir. Zaman tanım kümesindedoğrusal regresyon formu ve Grünwald-Letnikov tanımı kullanılırken frekans tanımkümesinde Levy'nin metodu ve Vinagre ağırlıklarının bu metoda uygulanması incelenir.Anlatılan tekniklerin karşılaştırılması yarım integral alıcı devreler ve Bagley-Torvik sistemiüzerinde yapılır. Sonuçta önerilen kesirli dereceli modellerin tamsayı karşılıklarınagöre dinamik sistemi temsil etmede genelde daha başarılı oldukları görülmüştür. Girişişaretleri için geçerli olan sürekli uyarma kavramının kesirli dereceli sistem tanıma içintekrar tanımlanması gerektiği gözlenmiştir. Zaman tanım kümesi metotları doğrudanuygulanabilirken frekans tanım kümesinde ilk önce frekans cevabının parametrik olmayanmetotlar ile bulunması gerekir. Bu tez çalışmasında özgün olarak tamsayılı vekesirli dereceli modeller seçilen örnek sistemler üzerinde karşılaştırılmıştır.

This thesis compares the performances of various identification methods of deterministicand linear systems described by fractional order models. A detailed introductionto fractional calculus and fractional differential equations is presented. In thisrespect, the definitions of fractional calculus by Cauchy, Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville and Caputo as well as their properties and integral transforms are covered.Both analytical and numerical solutions of fractional differential equations as well as theinitial condition problem are given in this thesis. Nonparametric and parametric systemidentification techniques for integer order systems are reviewed. The investigatedfractional order identification methods are parametric techniques based on minimizingthe prediction error. The modeling is done in black-box approach where the structureof the fractional order differential equation is selected at the start of the identificationprocedure. The estimation of the parameter vector can be performed in time andfrequency domain. Time domain identification is carried out by using linear regressionform and Grünwald-Letnikov?s definition while the investigated frequency domainmethods are Levy?s method and Levy?s method with Vinagre?s weights. As benchmarksystems, semi-integrating electrical circuits and Bagley-Torvik?s viscoelastic system areused. Identification results have revealed that in general the proposed fractional ordermodels are more successful at predicting the system output than the proposed integerorder models. The persistency of excitation from integer order system identificationhas to be redefined for fractional order system identification. Time domain methodscan be applied directly while in frequency domain system?s frequency response mustfirst be estimated by nonparametric methods. Original contribution of this thesis is thecomparison of integer and fractional order models for the chosen benchmark systems.