Further regularity of solutions for almost cubic NLS equation

Abstract

Bu tez iki ana kısımdan oluşmaktadır. Birincikısımda, neredeyse kübik Schrödinger denklemi ileilgili bazı önbilgi niteliğindeki yereliyi-tanımlılık neticelerini, ve bir fonksiyonuntürevinin normunun fark-oranlar yardımıylayakınsanabilmesi yüzünden, denklemin kolay vedoğrudan getirisi olan $L^2-H^1$ türevlenebilirlik sonucunuispatlayacağız.İkinci kısımda, ACNLS için bazıtürevlenebilirlik sonuçları ispatlayacağız. İlk olarak, sürekli bağımlılığın dahazayıf bir formunun kullanıldığı $H^s$ yereliyi-tanımlanmışlığı ve akabinde bunun fazladanbir koşul daha eklenerek süreklibağımlılığın elde edildiğigeliştirilmiş bir halini ispatlayacağız. Son olarak,varlık aralığının maximal alınmadığı,Banach sabit nokta teoremini kullanarak $X_{s,b}$ uzaylarınndayerel varlıkk teoremini ispatlayacağız. Bu aralıkağırlıklı olarak yüksek-alçak frekansayrışımı argümanlarına dayanarakbelirlenmektedir.

This thesis consists of two major parts. In the first one, we try togive the preliminary local well-posedness results for the ACNLS, and$L^2-H^1$ regularity result which is an easy and straightforwardconsequence of the equation, since the norm of the gradientof afunction can be estimated by difference quotients.In the second part, we prove some regularity results for ACNLS.First, we prove $H^s$ local well-posedness, where the continuousdependence is weakened; and an improvement of it by obtaining thecontinuous dependence with an additional condition. At the end, weprove local $X_{s,b}$ local existence result using Banach fixedpoint theorem, where the interval of existence is not taken to bemaximal. The interval depends closely on the arguments of thehigh-low frequency decomposition.