Born-oppenheimer approximation for some singular systems

Abstract

Bu tezde bir boyutta Born-Oppenheimer yaklaşımını kullanarak üç parçacıklı tekil bir sisteminde ağır parçacıkların enerji spektrumlarının nasıl gittiğine dair bir sonuç bulduk. Ağır parçacıklar delta fonksiyonu taşıyor ve bu sistemi çözdüğümüzde ağır parçacıkların enerjisinin bilinenin aksine (m/M)^(1/3) ile gittiğini gösterdik. Daha sonra çoklu parçacık teorisi ile bulduğumuz sonucun doğru olduğunu ispatladık ve elimizdeki operatörü ikinci dereceye kadar açarak enerjiye ikinci dereceden bir katkı geldiğini gördük. Bu enerji ise (m/M)^(2/3) derecesindeydi ve sadece potansiyel değil kinetik terim de bu ikinci dereceden enerjiye katkı sağlıyor. Bu Born-Oppenheimer yaklaşımı hakkında bilinen makalelerden daha farklı bir sonuçtu. Çünkü o makalelerde yüksek mertebelere gidince sadece potansiyelin yüksek mertebelere katkı vereceğini ifade ediyorlardı ama biz kinetik terimin de tıpkı potansiyel gibi yüksek mertebede katkısının olduğunu gösterdik.Buna ek olarak relativistik duruma baktığımızda potansiyelin relativistik olmayan durumdaki gibi lineer olduğunu gördük. Bu durum bize relativistik hesaplarımızın ağır kuark modeli ile tutarlı olduğunu gösterdi. Yine çoklu cisim teorisini kullanarak bulduğumuz sonucun doğruluğunu ispatladık. Born-Oppenheimer yaklaşımı schrödinger denklemindeki bazı terimleri atmamıza olanak sağlıyordu. Bu terimlerin değerlerini bularak ağır ve hafif parçacıkların dalga fonksiyonlarının birbirinden ayırıp çözüm yapabileceğimizi gördük. Dolayısıyla Born-Oppenheimer yaklaşımı bir boyutta tutarlı çalışıyor.

In this thesis we try to solve the energy spectrum of heavy particles in three body singular system by using the Born-Oppenheimer approximation. Heavy particlesare carrying attractive Dirac-Delta function potential so, when we solve this system we see that the energy spectrum of heavy particles goes like (m/M)^(1/3). It is different from the well-known articles. After this result we look at the three body system from the many body perspective and we verify that our previous results are true. Afterwards we expand many body equations until second order we find second order energy correction to the original energy. This energy goes like (m/M)^(2/3) and we see not only the second order of the potential term but the second order of the kinetic part also makes a contribution to the second order energy. We find new results show that high order energy corrections can be calculated systematically.In addition to these results we look at Born-Oppenheimer for the relativistic three body system. After some calculations we see the first order of the potential goes like linear as in non relativistic case. This result is very important for us because, we know potential is also linear for the heavy quark model so heavy quark model shows the consistency of our results for the relativistic case. Afterwards we look at this problem from the many body perspective and we verify the truth of our results. Born-Oppenheimer approximation says that you can think the wave function of the heavy and light particles as separable from each other while solving this problem we came across with some cross terms by taking the averages of these terms we show such terms are so small and make contributions to the high order energy. As a result of this thesis we prove the consistency of Born-Oppenheimer in one dimension.