Compressive control-vector parameterization with discrete cosine transform for the solution of optimal-control problems

Abstract

Bu tezde, açık döngülü optimal denetim problemlerinin çözümü için özgün bir sayısal yöntem sunulmuştur. Bu yöntem, standart `Denetim Vektörü Parametrelendirmesi` (DVP) yönteminin esnek kullanım özelliğiyle Ayrık Kosinüs Dönüşümü'nün (AKD) güçlü sıkıştırma özelliğini birleştirmiştir. Bu sebeple `Ayrık Kosinüs Dönüşümüyle Kompresif Denetim Vektörü Parametrelendirmesi` (DVP-AKD) olarak adlandırılmıştır.DVP-AKD'de parametrelendirme, yalnızca birkaç Ayrık Kosinüs Dönüşü Katsayısı (AKDK) kullanarak, sadece denetim değişkenlerine uygulanır.DVP-AKD yöntemi, optimal denetim problemlerini Doğrusal Olmayan Programlama (DOP) problemlerine dönüştürmektedir ve AKDK vektörünün ilk birkaç elemanını karar değişkeni olarak kullanmaktadır. Durum ve denetim değişkenlerinin kısıtlamaları ceza fonksiyonu yöntemiyle ele alınmaktadır. DVP-AKD'nin performansını ölçmek için, çeşitli problemlerstandart DVP ve `Denetim Vektör Optimizasyonu` (DVO) yöntemleriyle de çözülmüştür. Üç farklı yöntemin kıyaslaması yapılarak DVP-AKD yönteminin iyi ve kötü yanları belirtilmiştir. DVP-AKD yöntemi, denetim değişkenlerinin şeklinin veya karmaşıklığının önbilgisine gerek duymamaktadır. Bundan ötürü, bu yöntem herhangi bir optimal denetim problemine uygulanabilir. Sadece birkaç parametreyle DVP-AKD yöntemi, diğer yöntemler için tutarlı bir ön tahmin sağlamaktadır. Denetim dalgalı bir şekle sahip değilse, DVP-AKD sadece birkaç katsayı ile analitik çözüme çok yakın sonuçlar elde edebilmektedir. DVP-AKD'nin performansı, gerekli karar ve durum değişkenleri sayılarından ve ayrıklaştırılmış zaman elemanı sayısından bağımsızdır. Çok az AKDK dahi karar değişkeni davranışının yüzlerce hatta binlerce ayrık zaman elemanı ile oluşturulması için yeterli olup işlemci zamanı ve ayrık zaman eleman sayısına bağlı değildir. Bundan dolayı, sunulan bu yöntem, verimli parametre sıkılaştırması sayesinde, açık döngülü optimal denetim problemlerinin hızlı çözümlerini elde edilebilmektedir.

In this thesis, a novel numerical method for the solution of open-loop optimal-control problems is proposed. The method combines the flexibility of the standard Control-Vector Parameterization (CVP) technique with the compressive power of the Discrete Cosine Transform (DCT). Thus, the proposed method is termed as the Compressive Control-Vector Parameterization with Discrete Cosine Transform (CVP-DCT). In the CVP-DCT method, the control input is parameterized in terms of only few DCT Coefficients (DCTCs). The CVP-DCT method transcribes the optimal-control problem to a Nonlinear Programming (NLP) problem where the coefficients selected from the early elements of the DCTC vector are the optimization decision variables. Terminal and path constraints, as well as control bounds, are handled by the penalty-function method. Several problems are solved using the CVP-DCT, standard CVP, and Control-Vector Optimization (CVO) methods for comparison and demonstration of the pros and cons of the proposed CVP-DCT method. The method does not require a priori knowledge of the shape and complexity of the control trajectory and it can be used in any optimal control problem without prespecification. With only a few parameters, the CVP-DCT method can provide a good initial-guess trajectory to other sophisticated optimal control software packages. Especially if the control trajectory is smooth, the CVP-DCT method can provide solutions which are very close to the globalsolution using just a few decision variables. The performance, required number of DCTCs, and number of optimization decision variables of the method is independent of the dimension of the states and the number of time grids. Even very few DCTCs are enough for the reconstruction of the control vector to hundreds or even thousands of time grids without affecting the CPU time noticeably. Therefore, the proposed method is a viable technique for the fast solution of generic open-loop optimal-control problems with efficient low-dimensional parameterization.