Complex representations of finite general linear groups

Abstract

Bu savda, sonlu bir K cismi üzerine olan ikiye iki tersinir matrisler grubuGL(2,K) in karmaşık indirgenemez temsillerini belirleyeceğiz. Aslında bu daha önceIlya Piatetski-Shapiro tarafından 1983 yılında yapıldı. Makalesinde ( [1]), ShapiroGL(2,K) in indirgenemez temsillerini indüklenmiş modülün fonksiyonlar uzayına bağlıtanımını kullanarak sınıflandırıyor. Bu savın amacı makaleyi tensör çarpımı üzerinekurulu indüklenmiş modül tanımı kullanarak yeniden yazmaktır. Makaleye konumuzlaalakalı temel tanım ve teoremleri hatırlatarak başlayacağız. Daha sonra GL(2,K) indeğişeç alt grubunu belirleyeceğiz ve GL(2,K) in bazı özel alt gruplarını tanıtacağız.Sonlu bir grubun indirgenemez temsillerinin sayısı eşlenik sınıflarının sayısına eşittir.Bu sebepten GL(2,K) in eşlenik sınıflarını hesaplayacağız. Bölüm grupları ve GL(2,K)in indirgenemez temsilleri aracılığıyla GL(2,K) in indirgenemez temsillerini belirleyeceğiz.

In this thesis, we determine complex irreducible representations of GL(2,K),the group of 2 by 2 invertible matrices over a finite field K. Actually, this is doneby Ilya Piatetski-Shapiro in 1983. In his article [1], Shapiro classifies the irreduciblerepresentations of the group GL(2,K) by using the definition of induced module dependsas a space of functions. The aim of this thesis is to rewrite the article usingthe induction module definition constructed by a tensor product. We start the thesisby reminding some basic definitions and theorems related to our topic. Then we determinethe commutator subgroup of GL(2,K) and introduce some special subgroupsof GL(2,K). The number of irreducible representations of a finite group is equal tothe number of conjugacy classes of that group. Hence we calculate the conjugacyclasses of GL(2,K). We determine irreducible representations of GL(2,K) throughirreducible representations of the subgroups of it and quotient groups.