Birch Ve Swinnerton-Dyer Konjektürü Üzerine

Abstract

Birch ve Swinnerton-Dyer Konjektürü (BSD-Konjektürü), Matematik'in son yıllardaki en popüler problemlerinden birisi olup, Clay Matematik Enstitüsü'nün çözümü için 1 milyon dolar ödül vaat etmesi probleme olan ilgiyi oldukça arttırmıştır. Sayısal veriler konjektürün doğruluğunu desteklemektedir. Eliptik eğrilerde cebirsel bir objeyle analitik bir objeyi birbirine bağlayan konjektür iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısım rankla ilgili olup, ikinci kısımda ise eliptik eğrilerle ilgili bir formülün doğruluğu iddia edilmektedir. Dört bölümden oluşan bu çalışmada BSD-Konjektürü tanıtılması hedeflenmiştir. İlk bölümde eliptik eğrilerin özelliklerine ayrılmıştır. İkinci bölümde ise BSD-Konjektürü'nün rankla ilgili olan kısmı ifade edilmiş ve literatürdeki güncel sonuçlar tartışılmıştır. Üçüncü bölümde eliptik eğrilerin Tate-Shafarevich grupları tanıtıldıktan sonra BSD-Konjektürü'nün ikinci kısmını oluşturan formül verilmiştir. Dördüncü ve son bölümde ise konjektürü doğrulayan bazı örnekler ele alınmıştır. Çalışma derleme niteliğindedir.

Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture (BSD-Conjecture) is one of the most popular problems of Mathematics in recent years and it became a more interesting problem with Clay Mathematics Institute's $1 million prize for its solution. Numerical data support this conjecture's validity. The conjecture, which connects an algebraic object and an analytic object in elliptic curves, consists of two parts. The first part is related to rank and the second part claims the validity of a formula related to elliptical curves. The aim of this four-parted study is to introduce the BSD-conjecture. The first part is spared for the properties of elliptic curves. In the second part, the part related to the rank of BSD-Conjecture is stated and current results in the literature review are discussed. In the third part, Tate-Shafarevich groups of elliptic curves are introduced and the formula which composes the second part of BSD- Conjectures is given. In the fourth and the last section, some examples that support the conjecture are discussed. The study is conducted as a compilation.