R 3 1 Minkowski uzayında yüzey üzerinde eğrilerin elastik olmayan hareketleri

Abstract

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde Öklid ve Minkowski uzayında temel kavramlar verilmiştir. Ayrıca, Öklid ve Minkowski uzaylarında yüzey üzerindeki eğrilerin Darboux çatısı tanıtılmış ve yine Darboux çatısının Frenet çatısı ile olan ilişkisi verilmiştir.Üçüncü bölümde Öklid ve Minkowski uzayında varyasyonel eğri hareketi tanımı verilmiş olup, bu hareketin elastik olmama koşulu ve buna bağlı olarak eğrilikler arasındaki ilişkilere ait karakterizasyonlar ifade edilmiştir.Dördüncü bölümde , 3-boyutlu Öklid uzayında yönlendirilebilir bir yüzey üzerindeki bir eğrinin Darboux çatısına göre eğri hareketi ve bu eğri hareketinin elastik olmama koşulları verilmiştir.Beşinci bölüm bu çalışmanın orijinal kısımını oluşturmaktadırlar. Bu bölümde Minkowski uzayında alınan bir yüzey üzerindeki eğrinin Darboux çatısına göre varyasyonel hareketi tanımlanmış ve yine bu hareketin elastik olmama koşulu karakterize edilmiştir. Ayrıca, yüzey üzerinde aldığımız eğrinin geodezik eğri, asimptotik çizgi ve eğrilik çizgisi olma durumu incelenmiş ve buna dayalı sonuçlar verilmiştir.Altıncı bölümde çalışmanın özeti yapılmış ve bundan sonra yapılacak araştırmalara yönelik öneride bulunulmuştur.

This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic concepts in the Euclidean and Lorentzian space are introduced. Darboux frame is defined in Euclidean and Minkowski space, respectively and its relationships with Frenet Frame are given.In the third chapter, inextensible flow of curve in Euclidean and Minkowski space is defined. The necessary and sufficient conditions for an inextensible flows of curves are expressed as a partial differential equation involving the curvature and torsion.In the fourth chapter, inextensible flow of curve on oriented surface in Euclidean space is defined. The necessary and sufficient conditions for an inextensible flows of curves are expressed as a partial differential equation involving the geodesic curvature, the normal curvature and the geodesic torsion.The fifth chapter is the original parts of this study. In this chapter, the general formulation for inextensible flow of curve on oriented surface is investigated in Minkowski space, respectively. The necessary and sufficient conditions for inextensible curve flow lying an oriented surface are expressed as a partial differential equation involving the geodesic curvature, the normal curvature and the geodesic torsion. Moreover, some special cases of inextensible curves on oriented surface are elaborated.