Eliptik fonksiyonlar ve eliptik integraller

Abstract

I ©3EÜ? Bu çalışmamızda eliptik fonksiyonlar ve eliptik integraller dört bölümde incelenmiştir. Her bölümde yapılan çalışma bölüm bölüm kısaca aşağıda verilmiştir. I. bölümde: Jacobi'nin eliptik fonksiyonlar teorisinden yola çıkarak geliştirdiği teta fonksiyonları anlatılmıştır. Teta fonksiyonlarının periyodu, sıfır yerleri, trigonometrik seri açılımları, birbiriyle ilişkileri, karışık çarpımları, sonsuz çarpım ifadeleri ve türevi ile berabar iki özdeşlik verilmiştir, son olarak bu bölümde, teta fonksiyonlarının rasyonel türevi ile dönüşüm formülleri verilmiştir. II. bölümde: I. bölümde anlatılan fonksiyonlar yardımıyla eliptik fonksiyonlara geçiş yapılmıştır. Teta fonksiyonları ile tanımlanan eliptik fonksiyonların yine teta fonksiyonları yardımı ile özellikleri anlatılmıştır. Eliptik fonksiyonlar Jacobi ve Weierstrass eliptik fonksiyonları olarak iki kısımda incelenmiştir. Her iki tip eliptik fonksiyonun periyotları, kutupları ve rezüdüleri, türevleri, trigonometrik seri ifadeleri anlatılmış ve toplam formülleri verilmiştir. Ayrıca herhangi bir eliptik fonksiyonun p{z), Ç(z) cinsinden ifade edilebilmesi ile Fourier serisine açılabilmesi incelenmiştir. III. bölümde: Eliptik fonksiyonların eliptik integrallere eşitliğinden faydalanarak, eliptik integrallere geçiş yapılmıştır. Önce genel olarak herhangi bir eliptik integralin elemanter üç tip eliptik integrale indirgenmesi ve buradan trigonometrik ifadelerinin belirlenmesi detaylı olarak incelenmiştir. Daha sonra I., II., III. tip eliptik integraller ayrıntılı olarak anlatılarak bu integraller hakkında çeşitli özellikler verilmiştir. Son bölüm olan IV. bölümde: Önce herhangi bir işlemde ortaya çıkan integrallerin çözümleriyle ilgilenilmiştir. Verilen matematiksel örneklerin birbirinden farklı olması ve değişik yollardan çözümünün bulunmasına dikkat edilmiştir. Sonraki başlık altında ise, eliptik integraller acaba nerelerde karşımıza çıkar? Sorusunun yanıtı olarak fiziksel uygulamalardan üçü verilerek eliptik integrallerin ortaya çıktığı örnekler incelenmiştir.

II SUMMMIf In this study, I investigated the Elliptic Functions and the elliptic integrals in four sections. It was explained briefly following in every section what they are. In first chapter, it was told about Jacobins Elliptic Functions with the helped theta functions. Then, It was given the properties of theta functions. For examples periyot' s, Poles and zeros of theta functions, expantion of trigonometric series, products of theta functions with each other, relation between them, derivation and two differantial aquations satisfied by theta functions. In chapter II, by means of theta functions, which was examined in chapter I, It has been passed to elliptic functions. Elliptic functions' s properties which was defined with theta functions also explained by means of theta functions. Elliptic functions investigated in two groups that Jacobi and Weierstrass elliptic functions. Two groups elliptic functions' s properties have been given periods, poles and residues, derivation's, expensions of trigonometric series and the additions form for the elliptic functions and then formula expressing any elliptic functions in terms of Weierstrass elliptic functions and finally Fourier expansions for the elliptic functions. In third chapter, we have been passed to elliptic integrals by using the equality of elliptic functions elliptic integrals. Fist of all, It was examined, generally to reduce of any given elliptic integral into three kinds of elliptic integrals and then to determine the trigonometric forms of it. After then, the detailed investigations of three types integral and some special case of these integrals are given. At the last chapter, I concerned to solve of any given elliptic integral. Examples of this sections is choosen as different from each other and various different ways in the solutions. In the second subdivision it was given the answer as pyhsicall applications of elliptic integral aganist the questions `Where elliptic integrals occur? 8S. Here three pyhsicall examples are given as application of elliptic integral.