Lineer diferansiyel denklem sistemlerinin matris yardımı ile çözümleri

Abstract

Lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çeşitli çözüm yolları bilinmektedir. Bu tez çalışmasında, bu metodlar dışında, lineer diferansiyel denklem sistemleri matrisler yardımı ile farklı yöntemlerle çözülmüştür. Bu çalışmada matris ile ilgili kısım, bir program dahilinde lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinde kullanılmak üzere ele alınmıştır ve bu mertebede derinleştirilmiştir. Matris ile ilgili kısımda, elemanter dönüşümler, elemanter matrisler, denk matrisler, matrisi kanonik şekle dönüştürme yöntemi, polinom matrisler, denk polinom matrisler ve denk polinom matrisler için elemanter dönüşümler, denk polinom matrislerin kanonik şekli (smith normal form), üstel matris, bir matrisin özdeğer ve özvektörleri, kanonik formlar gibi konular üzerinde durulmuştur.Sabit katsayılı lineer homojen olan diferansiyel denklem sistemleri eleminasyon metodu, determinant (cramer) metodu, özvektörler yöntemi, smith normal form, rasyonel kanonik form, üçgen matris yöntemi ve üstel matris yöntemi ile çözülmüştür. Sabit katsayılı lineer homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri eleminasyon metodu, determinant (cramer) metodu, köşegenleştirme yöntemi, parametrelerin değişimi yöntemi, smith normal form, rasyonel kanonik form, üçgen matris yöntemi ve üstel matris yöntemi ile çözülmüştür. Değişken katsayılı lineer homojen olan diferansiyel denklem sistemleri ve değişken katsayılı lineer homojen olmayan diferansiyel denklem sistemleri de matrisler yardımı ile çözülmüştür. Ayrıca değişken katsayılı lineer homojen olan diferansiyel denklem sistemleri Peano-Baker metodu ile de çözülmüştür.

A variety of solutions to systems of linear differential equations are known. In this study, except for these methods, systems of linear differential equations are solved in different ways with the help of matrices. In this study, section of the matrix, according to a program is considered to be used in solutions of systems of linear defferential equations and is deepened at this state. In the section of the matrix, issues such as elementary transformations, elementary matrices, equivalent matrices, the canonical way of transforming the matrix, polynomial matrices, equivalent polynomial matrices, elementary transformations for equivalent polynomial matrices, the canonical form of equivalent polynomial matrices (Smith Normal Form), exponential matrix, eigenvalues and eigenvectors of a matrix, canonical forms are focused.Systems of homogeneous linear differential equations with constant coefficients are solved by elimination method, determinant (cramer) method, eigenvectors method, smith normal form, rational canonical form, triangular matrix method and matrix exponential method. Systems of non-homogeneous linear differential equations with constant coefficients are solved by elimination method, determinant (cramer) method, diagonalization method, variation of parameters method, smith normal form, rational canonical form, triangular matrix method, matrix exponential method. Systems of homogeneous linear differential equations with variable coefficients and systems of non-homogeneous linear differential equations with variable coefficients are solved with the help of the matrices. In addition, systems of homogeneous linear differential equations with variable coefficients are solved by Peano-Baker method.