Değişmeli olmayan halkalar üzerinde tanımlı devirli kodlar

Abstract

Dijital bilgi transferinde ya da bilgi depolamasında kaynaktan kullanıcıya bilgi aktarılması esnasında dış etkenlerden ötürü bilgi mesajı değişikliğe uğrayabilir. Kodlama teorisi, haberleşme esnasında ya da bilgi depolamasında meydana gelebilecek hataları tespit etme ve düzeltme ile ilgilenir ve matematiğin farklı dallarıyla bağlantısı olan disiplinler arası bir alandır.Kodlama teorisinin temel problemi ise orijinal bilgiye eklemeler yapılırken maliyetin minimumda tutulması ve aynı zamanda hata düzeltme kapasitesinin maksimum seviyede olmasını sağlamaktır. Bu alanda yapılan ilk çalışmalar cisimler üzerinde tanımlı lineer kodlar ve devirli kodlar üzerine yoğunlaşmıştır. Hamming kodlar, BCH kodlar, Golay kodları gibi bazı önemli kod aileleri elde edilmiştir. 70?lerin başından itibaren halkalar üzerinde kodlar çalışılmış, fakat bu alanda asıl ilerleme 1994 te Hammons vd. tarafından yapılan çalışma ile olmuştur. Bu çalışmada cebirsel bir yapıya sahip olmayan (lineer olmayan) Kerdock ve Preparata gibi bazı önemli kod aileleri Z_4 üzerinde tanımlı lineer kodların Gray dönüşümü altındaki görüntüsü olarak elde edilmiştir. Böylece bu alanda yapılan çalışmalar farklı bir boyut kazanmış ve halkalar üzerinde kodlara yönelik birçok araştırma yapılmıştır. Son altı yıldır ise değişmeli olmayan halkalar üzerinde kodlar tanımlanmış ve cebirsel özellikleri araştırılmıştır. Elde edilen bu yeni kod ailesi skew devirli kodlar olarak adlandırılmıştır. Skew devirli kodlar cebirsel yapıları nedeniyle oldukça önemlidir. Skew polinom halkası tek türlü çarpanlarına ayrılabilen halka olmadığından devirli kodlara göre daha fazla üreteç polinomu ve böylece daha fazla sayıda kod elde etmek mümkündür. Dolayısıyla daha iyi parametrelere sahip kodların araştırılması açısından skew devirli kodlar daha avantajlı olabilir. En önemli özelliklerden biri ise lineer kodların daha zengin cebirsel yapılarda temsilinin elde edilmesidir.Bu tezde skew devirli kodlarla ilgili literatürde mevcut olan çalışmalar irdelenmiş ve örneklendirilmiştir. Skew devirli kodların idempotent üreteçleri belirlenmiş ve idempotent üreteçlerin tek olmayabileceği gösterilmiştir. Karakteristiği 2 olan 16 elemanlı F_4+vF_4 halkasının özellikleri çalışılmış ve bu halka üzerinde lineer kodlar belirlenmiştir. Ayrıca bu halka üzerinde Gray dönüşümü tanımlanarak F_4 üzerinde kodlar elde edilmiştir. Literatürde henüz çalışılmamış olan F_4+vF_4 halkası üzerinde skew devirli kodlar tanımlanmış ve özellikleri belirlenmiştir. Bu kodların Gray dönüşümü altındaki görüntülerinden iyi parametrelere sahip kodlar elde edilmiştir.

Coding theory is a field of research with a focus on detection and correction of errors that can occur during the transmission of data or data storing. It is a multi-disciplinary field with a lot of connections to different areas of mathematics. One of the main tasks in coding theory is to encode messages with minimum cost and maximum error correction capability. Early studies in this area were concentrated on linear and cyclic codes over fields. Some of the important families of codes obtained in early stages were Hamming codes, BCH codes and Golay codes. Codes over rings had been considered by mathematicians from early seventies, but the breakthrough work was published in 1994 by Hammons et al. in which they showed that some important binary nonlinear codes such as Kerdock and Preparata codes can be obtained as Gray images of linear codes over Z_4. The emergence of this paper brought a new direction to researchers working in coding theory. Since then a lot of research has been directed towards codes over rings.In the last six years cyclic codes from noncommutative polynomial rings have been introduced and the algebraic structure of these codes has been examined. This new class of codes are named skew cyclic codes and they are important because of their algebraic structure. Since skew polynomial rings are not unique factorization rings there are many more generator polynomials leading to many more skew cyclic codes compared to ordinary cyclic codes of the same lengths. Therefore skew cyclic codes are advantageous to search for codes with possible good parameters. Another important aspect of studying codes over such structures is the fact that one obtains a representation of linear codes over fields with a richer algebraic structure. In this work, studies about skew cyclic codes in literature were examined and exemplified. Idempotent generators of skew cyclic codes are identified and it is shown that idempotent generator of a skew cyclic code may not be unique. The characteristic 2 ring F_4+vF_4 of size 16 is considered. The properties of this ring are studied and linear codes over this ring are introduced. Also a Gray map is defined over this ring and codes over F_4 obtained as Gray images. Skew-cyclic codes over this ring are considered for the first time in the literature. The algebraic properties of these codes are examined and some good codes are obtained through the images of these codes.