Z3-dereceli GLq(2) kuantum grubu üzerine bir diferansiyel hesap

Abstract

Tersi mevcut lineer tasvirler bir grup oluşturur. Böyle lineer tasvirlerin matris temsilleri ile elde edilen grup, nxn-matrislerin grubu olarak GL(n) ile gösterilir. GL(2) genel lineer grubu, GL(2) deki lineer tasvirler kuantum düzlem [1] ve dualine etki ettiğinde sonuçların kuantum düzlem ve dualinin sağladığı komutasyon bağıntıları altında invaryant kaldığı kabul edilerek deforme edilir [2]. Bu çalışmada,Z3-dereceli kuantum düzlem [3] kullanılarak, Z3-dereceli GLq(2) kuantum grubu elde edilmiş ve bu grup üzerine sağ- ve sol-kovaryant olan bir diferansiyel hesap kurulmuştur.Tez, altı bölümden oluşmaktadır ve orijinal kısımlar, üçüncü bölümden başlamaktadır. İlk bölümde, konuya dair bir literatür özeti verilmiş ve tezin amacı belirtilmiştir.İkinci bölümde, tezin orijinal kısımlarında kullanılacak olan cebir, cebirlerin tensör çarpımı, Hopf Cebiri [4] gibi temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümün ilk başlığında, Z3-dereceli kuantum düzlem [3], onun Hopf cebir yapısı ve diferansiyel geometrisi hakkında, tezde kullanılacak kadar bilgi verilmiştir. İkinci başlığında, ilk başlıkta verilen Z3-dereceli kuantum düzlem üzerine etki eden tersi mevcut lineer tasvirler göz önüne alınarak, onların matris temsilleriyle oluşturulan bir kuantum grubu elde edilmiş ve bu gruba Z3-dereceli GLq(2) kuantum grubu adı verilmiştir.Dördüncü bölümde, Z3-dereceli GLq(2) kuantum grubu üzerine bir diferansiyel hesap kurulmuştur. Bu yapılırken, GLq(2)'deki bir matris göz önüne alınarak, matris elemanlarının birinci ve ikinci mertebe diferansiyelleri ve onların kendi arasındaki q-komutasyon bağıntıları bulunmuştur. Daha sonra, Cartan-Maurer formları tanımlanmış ve onlar ile ilgili q-komutasyon bağıntıları elde edilmiştir.Son bölümde ise, Z3-dereceli GLq(2) kuantum grubunun Z3-dereceli kuantum Lie cebiri bulunmuştur.

Linear transformations whose inverse exist constitute a group. The group which is obtained by matrix representation of such linear transformations, is indicated by GL(n) as a group of nxn-matrices. The general linear group GL(2) is deformed by assuming the results, which are obtained when the linear transformations in GL(2) effect quantum plane [1] and its dual, stay invariant under commutation relations, which are provided by quantum plane and its dual [2]. In this study, Z3-graded GLq(2) quantum group is obtained by using Z3-graded quantum plane [3] and a right- and left- covariant differential calculus is constructed on this group.In the first chapter of the thesis which consists of six chapters, the literature concerning the subject is given and the purpose of the study is explained.In the second chapter, the basic concepts which are used in the sections such as algebra, tensor product and Hopf Algebra [1] are given.In the third chapter, by considering invertible present linear transformations which have an action on Z3-graded quantum plane, a quantum group which is formed by their matrix representations is obtained and this group is called Z3-graded GLq(2) quantum group. As the Hopf algebra construction is introduced, some new definitions such as Z3-graded tensor product of algebras are given. In the fourth chapter, a differential calculation on Z3-graded GLq(2) quantum group is constructed. During this process, by considering a matrix in GLq(2) , first and second order differentials of the entries of the matrix are calculated and q-commutation relations between themselves are determined. Then, Cartan-Maurer forms are defined and their q-commutation relations are obtained.In the last chapter, Z3-graded quantum Lie algebra of Z3-graded quantum group of GLq(2) is constructed.