Characteristic lie algebra and classification of semi-discrete models

Abstract

Bu tezdet_{x}(n+1,x)=f(t(n,x),t(n+1,x),t_x(n,x)), (1)halindeki diferansiyel-fark denklemi üzerindeçalıştık. Burada t=t(n,x) ayrık n vesürekli x bağımsız değişkenlerinin birfonksiyonudur. Denklem (1), eğer basit olmayan x- ven-integrallerini kabul ediyorsa, Darboux integrallenebilirdenklem olarak adlandırılır. F(x,n,t,t_{/pm 1},t_{/pm2},...) fonksiyonu eğer D_xF=0 koşulunusağlıyorsa denklem (1)'in x-integrali olarakisimlendirilir. Burada D_x, x'e gö}re toplam türevoperatörüdür. I(x,n,t,t_x,t_{xx},...) fonksiyonueğer DI=I şartını sağlıyorsa denklem(1)'in n-integrali olarak adlandırılır. Burada D,Dh(n)=h(n+1) şeklindeki denklem (1)'in kaydırmaoperatörüdür.Bu çalışmada, yarı-ayrık hiperbolik tipindekidenklemler içiin karakteristik Lie cebir mefhumunutanıttık. Karakteristik Lie cebirini Darbouxintegrallenebilir zincir denklemlerini sınıflandırmakiçin kullandık ve son olarak, (1) denklemindeki ffonksiyonunun, f=t_x(n,x)+d(t(n,x),t(n+1,x)) özel haline sahipolduğu durumdaki Darboux integrallenebilir denklemlerin tamlistesini verdik.

In this thesis, we studied a differential-difference equation of thefollowing formt_{x}(n+1,x)=f(t(n,x),t(n+1,x),t_x(n,x)), (1)where the unknown t=t(n,x) is a function of two independentvariables: discrete n and continuous x. The equation (1) iscalled a Darboux integrable equation if it admits nontrivial x-and n-integrals. A function F(x,t,t_{/pm 1},t_{/pm 2},...)is called an x-integral if D_xF=0, where D_x is the operatorof total differentiation with respect to x. A functionI(x,t,t_x,t_{xx},...) is called an n-integral if DI=I,where D is the shift operator: Dh(n)=h(n+1).In this work, we introduced the notion of characteristic Lie algebra for semi-discretehyperbolic type equations. We used characteristic Lie algebra as atool to classify Darboux integrability chains and finally gave thecomplete list of Darboux integrable equations in the case when thefunction f in the equation (1) is of the special form f=t_x(n,x)+d(t(n,x),t(n+1,x)).