Isomorphism theorems of linear groups

Abstract

L NEER GRUPLARIN ZOMORF ZMA TEOREMLERGenco FASBu tezin amacı aşağıdaki teoremde de gösterildiği gibi cisimler üzerindeki lineergrupların izomorfizma teorisidir:Teorem: (Projektif) Kolineer transformasyonların, (projektif) genel lineer gruplarınveya (projektif) özel lineer grupların boyutu 3'e eşit veya daha büyük olan farklı alt uzaylarıarasındaki izomorfizma için gerek ve yeter şart sözkonusu alt uzayları kapsayan vektöruzaylarının boyutlarının aynı olması ve bu vektör uzaylarının üzerinde bulundukları sonluboyutlu cisimlerin izomorfik olmasıdır.Sunulacak olan teori 50'li ve 60'lı yıllarda halkalar üzerindeki klasik gruplarınizomorfizmaları üzerine yapılan çalışmalarla benzerlikler göstermektedir. Bu tez çalışmasıreziü hesabı ve transveksiyonların temel özellikleriyle başlayacaktır. Ardından özeldeProjektif Geometri'nin Temel Teoremi ispatlanacak ve projektif geometriden ihtiyacımız olanneyse geliştirilecektir. Klasik grupların izomorfizmaları üzerine var olan materyalin yenidendüzenlenmesiyle lineer transformasyon gruplarındaki bilinen teorinin kolineer transformasyongruplarına genişletilmesi ve yine izomorfizma teorisinin, boyutun 5'e eşit veya büyük olmasıkoşulundan, 3'e eşit veya büyük olma koşuluna geliştirilmesi mümkün olmaktadır.

ISOMORPHISM THEOREMS OF LINEAR GROUPSGenco FASThe goal in this thesis is the isomorphism theory of linear groups over fields as shownby the theoremTheorem: There is an isomorphism between any subset of the (projective) collineartransformations, (projective) general linear groups or (projective) special linear groups fordimension ⥠3 if and only if the dimensions of the finite dimensional vector spaces of thesesubspaces are equal and the underlying fields of these vector spaces are isomorphic.The theory that follows is typical of much of the research between the years 50?s and60?s on the isomorphisms of the classical groups over rings. The thesis will start from thebasic facts of calculus of residues and transvections. Then, in particular, the fundamentaltheorem of projective geometry will be proved and whatever is needed from projectivegeometry will be developed. Via reorganizing the literature on the isomorphisms of theclassical groups, it will be possible to extend the known theory from groups of lineartransformations to groups of collinear transformations, and also to improve the isomorphismtheory from dimension ⥠5 to dimension ⥠3.