Toplamsal aritmetik yarı gruplarda bağımsız rastgele değişkenlerin toplamları

Abstract

G, asal elemanların sayılabilir kümesi P tarafından üretilen; birim elemanı 1G olan değişmeli yarı grup ve ?, G'den doğal sayı kümesine tanımlı derece fonksiyonu olmak üzere (G, /delta) toplamsal aritmetik yarı grup olsun. Kabul edelim ki G?nin üretici fonksiyonu Z, exp-log F sınıfının bir elamanı olsun (Indlekofer sınıfı). p asal eleman ve k doğal sayı olmak üzere G'nin pk ile tam bölünebilen elemanlarının kümesi Apk olmak üzere A ile { Apk }kümeleri tarafından üretilen cebir gösterilsin. Bu tezde, G toplamsal aritmetik yarı grubu (ßG,?(A), /bar{?}) olasılık uzayına gömülmektedir. Ayrıca, G?de tanımlanan reel değerli toplamsal fonksiyon g?nin (BG, ?(A),/bar{delta}) olasılık uzayında bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı /bar{g}?e tek türlü genişlediği gösterildi.Reel değerli toplamsal fonksiyon g?nin limit dağılımının varlığının /bar{g} serisinin hemen hemen her yerde yakınsamasına denk olduğu ispatlandı. Başka denk ifadeler üç-seri teoreminde formulize edildi. Son olarak, esas dağılımlı toplamsal fonksiyonların karakterizasyonu iki-seri teoreminde verildi. Bu sonuç, G?nin üretici fonksiyonu olan Z?nin exp-log F sınıfının bir alt sınıfından olması durumunda ispatlandı.

Let G be an additive arithmeical semigroup if G, generated by a countable set P of prime elements, is a commutative semigroup with identity element 1G, and ? is an integer valued degree mapping. Assume that the generating function Z of G is an element of the exp-log class F(the class of Indlekofer). For prime elements p and natural number k let Apk be the set of all elements of G divisible exactly by pk . Further, let A be the algebra generated by the sets Apk. In this thesis, G is embedded in the probability space (ßG,?(A), /bar{?}), where ßG is the Stone-?ech compactification of G.Further, it is shown that real-valued additive function g on G is uniqely extended to a sum /bar{g} of independent random variables on (ßG,?(A), /bar{?}). Then, it is proven that the existence of the limit distribution of the real-valued additive function g is equivalent to the almost every convergence of /bar{g} . Further equivalent assertions are formulated in the Three-series theorem.And finally, a characterization of essentially distributed additive functions is given in the Two-series theorem. This result is proven in case that the generating function Z of G belongs to a subclass of the exp-log class F.