Bazı p-adik trigonometrik fonksiyonların mahler açılımları üzerine

Abstract

Bu tezde bazı p-adik trigonometrik fonksiyonlar göz önüne alınmıştır. p-adik değişkenli trigonometrik fonksiyonlar kuvvet serileri ile tanımlı fonksiyonlar olarak gözönüne alınmaktadır. Reel durumda olduğu gibi her sürekli fonksiyona bir polinomla yaklaşılabilir. Fakat p-adik durumda durum daha sadedir. Gerçekten her f∈C(Z_p→C_p) fonksiyonu için (x¦n) binom katsayısı (n.dereceden bir polinom) olmak üzere,f(x)=∑_(n=0)^∞▒a_n (x¦n)şeklinde yazılır. Bu açılıma f nin Mahler açılımı denir. Burada a_n sayıları a_n=∑_(k=0)^n▒〖(-1)^k (n¦k)f(n-k), (n=0,1,2,…)〗 ile belirlidir ve bunlara f nin Mahler katsayıları denir. Bu çalışmada bazı p-adik trigonometrik fonksiyonların Mahler açılımları elde edilmiş ve Mahler katsayıları hesaplanmıştır. Ayrıca, bu fonksiyonların Volkenborn integralleri ve fermiyonik p-adik integralleri için sonuçlar elde edilmiştir.

In this thesis we consider some p-adic trigonometric funtions. The trigonometric functions with a p-adic variable are defined by power series. As the real case, for every continous function can be approximatied by a polynomial functions. But in p-adic case, the situation is more simple. In fact , for every f∈C(Z_p→C_p) can be writen in the form of f(x)=∑_(n=0)^∞▒a_n (x¦n)where (x¦n) is the binomial coefficient (a polynomial of degree n). This expansion is called as Mahler expansion of f. The numbers a_n are determined by formulaa_n=∑_(k=0)^n▒〖(-1)^k (n¦k)f(n-k), (n=0,1,2,…)〗 and they are called as Mahler coefficients of f.Their in this work, Mahler expansions of some p-adic trigonometric functions were obtained and Mahler coefficients were calculated. In addition, some results were obtained for Volkenborn integrals and fermionic p-adic integrals of these functions.