Kesirli türevlerin hipergeometrik fonksiyonlara uygulamaları

Abstract

Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.İkinci bölümde, önbilgiler ve diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar, lemmalar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, kesirli analiz ile ilgili bazı bilgiler verildikten sonra, Riemann-Liouville ve Weyl kesirli integralleri, fonksiyonlar için kesirli Leibniz kuralı incelenmiştir. Dördüncü bölüm kesirli analiz ile ilgili çeşitli uygulamalardan oluşmaktadır. Beşinci bölümde, Riemann-Liouville operatörü yardımıyla tanımlanan g-Jacobi fonksiyonları verilmiş ve bu fonksiyonların bazı özellikleri incelenerek klasik Jacobi polinomları ile karşılaştırılmıştır. Ayrıca Gauss hipergeometrik fonksiyonlarının kesirli genişlemeleri verilmiş ve F-Gauss fonksiyonları olarak bilinen bu fonksiyonların sağladığı diferensiyel denklem ve onun çeşitli özellikleri araştırılmıştır. Altıncı bölümde, yine Riemann-Liouville operatörü yardımıyla tanımlanan Laguerre fonksiyonları verilmiş ve bu fonksiyonların bazı özellikleri incelenerek Laguerre polinomları ile karşılaştırılmıştır. Ayrıca Kummer diferensiyel denkleminin kesirli analoğunun bir çözümü olarak Kummer fonksiyonlarının kesirli bir genellemesi incelenmiştir.

This thesis consists of six chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, preliminaries, some definitions, lemmas and theorems used in the other chapters are given. In the third chapter, after giving some information concerning the fractional calculus, Riemann-Liouville and Weyl fractional integrals, the fractional Leibniz rule for functions are investigated. The fourth chapter consists of various applications regarding the fractional calculus. In the fifth chapter, g-Jacobi functions defined with the help of the Riemann-Liouville operator are given and some of their properties are studied and compared with the corresponding properties of the classical Jacobi polynomials. Furthermore, fractional expansions of the Gauss hypergeometric functions are given and the differential equation satisfied by these functions known as F-Gauss functions and its various properties are analyzed. In the sixth chapter, Laguerre functions defined by the Riemann-Liouville operator are presented and some of their properties are investigated and compared with the corresponding properties of the Laguerre polynomials. Besides, a fractional generalization of the Kummer function is studied as a solution of a fractional analogue of the Kummer differential equation.