Q-bernsteın polinomlarının kıng tipli genelleşmelerinin istatistiksel yaklaşım özellikleri

Abstract

Korovkin tipli yaklaşım teoremleri yaklaşımlar teorisinde önemli bir yere sahiptir. İstatistiksel yakınsaklık kavramı yardımıyla Korovkin tipli yaklaşım teoremleri geliştirilmiştir [Gadjiev ve Orhan, 2002; Duman ve ark. 2003]. Bu teoremler kullanılarak birçok lineer pozitif operatörün q-genelleşmelerinin veya integral tipli genelleşmelerinin yaklaşım özellikleri araştırılabilmiştir. Bu tezde ise, Lupaş [Lupaş 1987] tarafından tanımlanan Bernstein operatörünün q-analoğunun önce King tipli daha sonra Kantorovich tipli genelleşmeleri verilmiş ve istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Yaklaşım teorisinde operatörlerin düzgün yakınsaklığının araştırılması kadar bu yakınsamanın hızının değerlendirilmesi de oldukça önemli bir konudur. Bu tezde, ilk olarak Bernstein operatörünün q-analoğunun King tipli genelleşmesi tanımlanmıştır. Bu operatörün hem süreklilik modülü hem de Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar yardımıyla yaklaşım hızının, Lupaş [Lupaş 1987] tarafından verilen Bernstein operatörlerinin q-analoğunun yaklaşım hızından bazı koşullar altında daha iyi olduğu gösterilmiştir. Bu durum tezin önemini arttırmaktadır. Bununla birlikte Bernstein operatörünün q-analoğunun King tipli genelleşmesinin istatistiksel yakınsaklığı da incelenmiştir. Ayrıca bu operatörün istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenerek, istatistiksel yaklaşım hızı, süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla bulunmuştur. Bununla birlikte, Bernstein operatörörlerinin q-analoğunun birinci tip Kantorovich tipli genelleşmesi q-integral yardımıyla tanımlanarak yaklaşım özellikleri verilmiştir. Daha sonra Bernstein operatörörlerinin q-analoğunun ikinci tip Kantorovich tipli genelleşmesi Riemann tipli q-integral yardımıyla tanımlanarak her iki operatöründe istatistiksel yakınsaklığı incelenmiştir. Son olarak, bu operatörlerin istatistiksel yaklaşım hızları süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar yardımıyla bulunarak karşılaştırılmış, birinci tip operatörün yaklaşım hızının daha iyi olduğu görülmüştür.

Korovkin type approximation theorems have fundamental role in the approximation theory. Through the aid of the concept of statistical approximation, Korovkin type theorems are developed [Gadjiev and Orhan, 2002; Duman et all, 2003]. Using these theorems, the approximation properties of the q-generalizations and integral-type generalizations of many linear positive operators could be investigated. In this thesis, firstly King-type then Kantorovich-type generalizations of q-analogue of the Bernstein operators defined by Lupaş [Lupaş 2006] are given and statistical approximation properties of these generalizations are investigated. In the approximation theory, evaluation of approximation rate is as important subject as an investigation of uniform convergence of operators. In this thesis, King-type generalization of q-analogue of the Bernstein operator is firstly defined. It has been shown that, in terms of both the modulus of continuity and Lipschitz class functions, the rate of convergence of this operator is better then the rate of convergence of q-analogue of the Bernstein operators given by Lupaş [Lupaş 1987] under some conditions. This situation increases the importance of the thesis. The statistical approximation of King-type generalization of q-analogue of the Bernstein operator is also investigated. Furthermore, through investigating the statistical approximation properties, statistical approximation rate of this operator is found with the aid of modulus of continuity and Lipschitz class functions respectively. Moreover, first type Kantorovich-type generalization of q-analogue of the Bernstein operator is defined via q-integral and approximation properties are given. Then, second type Kantorovich-type generalization of q-analogue of the Bernstein operator is defined via Riemann type q-integral and the approximation properties of both operators are investigated. Lastly, statistical approximation rates of these operators are found with the aid of modulus of continuity and Lipschitz class functions and these rates are compared. It is observed that, approximation rate of the first type operator is better.