Büzülme dönüşümleri için sabit nokta teorisi ve uygulamları

Abstract

Sabit nokta teorisi matematiğin çok çeşitli dallarında uygulaması olması nedeniyle matematik dünyasında önemli bir yer tutmaktadır. Bu tez çalışmasında, metrik ve kısmi sıralı metrik uzaylarda büzülme dönüşümleri için bazı sabit nokta teoremleri ile bunların uygulamaları incelendi. İlk olarak metrik ve kısmi sıralı metrik uzaylardaki dönüşümler için sabit nokta teorisi ile ilgili ön bilgiler, bazı temel tanım ve teoremler verildi. Daha sonra, metrik uzaylarda sabit nokta teorinin başlangıcı olarak kabul edilen Banach sabit nokta teoremi ve bu çalışmanın kısmi sıralı metrik uzaylardaki versiyonu ifade edildi. Bu çalışma ise karma monotonluk özelliğine sahip dönüşümler ve bu dönüşümler için ikili sabit nokta teoremi verilerek genelleştirildi. Bundan sonra, uzaklık değiştiren fonksiyon tanımı ve zayıf büzülme dönüşümü tanımı verilerek, Banach büzülme ilkesinin metrik uzaylardaki başka bir genellemesi ifade edildi. Ayrıca, bu çalışmanın kısmi sıralı metrik uzaylardaki versiyonu ifade ve ispat edildi. Geraghty tarafından tanımlanan δ ailesine ait fonksiyonları kullanarak metrik uzaylarda Banach büzülme ilkesinin bir genellemesi ve yine bu çalışmanın kısmi sıralı metrik uzaylardaki versiyonu incelendi. Son olarak, kısmi sıralı metrik uzaylarda verilen dönüşümün artmayan olduğu veya monoton olmadığı durumda sabit nokta teorisi incelendikten sonra, bu çalışma kapsamında incelenen kısmi sıralı metrik uzaylarda sabit nokta teoremlerinin en genel halinin diferensiyel ve integral denklemlere uygulaması verildi.

Fixed point theory has a very important place in the world of mathematics since it has many applications in various branches of mathematics. In this thesis, some fixed point theorems and their applications are examined for contraction mapping in metric and partially ordered metric spaces. Firstly, some preliminary information, basic definitions and theorems about the fixed point theory are given. Then, Banach fixed point theorem, which is considered as the beginning of the study the fixed point theory in metric spaces, and its version in partially ordered metric spaces have been expressed. This study is generalized by giving mixed monotone mappings and coupled fixed point theorems for these mappings. And then, another generalization of Banach contraction principle in metric spaces is stated by defining the altering distance function and weakly contractive map. Also, its version in partially ordered metric spaces is expressed and proved. The generalization of Banach contraction principle in metric spaces and its version in partially ordered metric spaces are examined by using functions belongs to δ family which is defined by Geraghty. Finally, after giving fixed point theorems for nonincreasing and nonmonotone mappings in partially metric spaces, the applications of the most general conditions of fixed point theorems in partially metric spaces to the differential and integral equations, which are examined in this study, are given.