Sıra istatistiklerinin bağımlılık yapısının kapulalar ile incelenmesi

Abstract

İstatistik teorisinde, değişkenler arasındaki bağımlılık yapısını anlamak uzun yıllar çalışılmış ve bu bağımlılık yapısını ortaya koymak için birçok yöntem geliştirilmiştir. Son zamanlarda bunun için kullanılan en etkili yöntemlerden biri de kapula fonksiyonlarıdır. Kapula fonksiyonları yardımıyla iki veya çok değişkenli dağılımların kolayca inşa edilebilmesi de kapulalara olan ilgiyi artırmıştır. Bu tezde istatistiksel hipotezlerde, tahmin problemlerinde, istatistiksel süreç kontrollerinde, güvenilirlik, risk yönetimi ve birçok uygulamalı alanda yaygın olarak kullanılmakta olan sıra istatistiklerinin bağımlılık yapısı kapulalarla araştırılmıştır. İlk olarak uç sıra istatistiklerinin bağımlılık ilişkilerine bakılmış ve bu ilişkilerin değişimine bağlı olarak Clayton, Frank, Gumbel, Gaussian, Farlie-Gumbel-Morgenstern ve min-max-kapula ailelerinin veri setine uygunlukları Ki-kare uyum iyiliği testi ile incelenmiştir. İkinci olarak da Dolati ve Úbeda-Flores (2009) tarafından önerilen sıra istatistiklerinin marjinal dağılımları ile elde edilmiş kapulanın çarpım kapulası ile doğrusal bir kombinasyonu oluşturularak yeni bir karma kapula elde edilmiştir. Elde edilen yeni karma kapulanın önemli kapulalarla ilişkileri, simetri yapısı, sıralama özelliği, kadran bağımlılığı, uyumu ve Kendall'ın 'su ve Spearman'ın 'su için yeni sınırları elde edilmiştir. Yeni karma kapula negatif kadran bağımlılığa sahip bulunmuştur. Ayrıca yeni oluşturulan kapula Farlie-Gumbel-Morgenstern kapulasına uygulanarak Farlie-Gumbel-Morgenstern kapulasının yeni bir formu elde edilmiştir. Yeni karma kapula negatif kadran bağımlı olduğu için Farlie-Gumbel-Morgenstern kapulasının yeni formu negatif yönde daha güçlü bir bağımlılık yapısına sahip bulunmuştur. Farlie-Gumbel-Morgenstern kapulasının yeni formu bazı kapulalar ile karşılaştırılmıştır. Bunlar Farlie-Gumbel-Morgenstern kapulası, Gaussian kapulası ve Frank kapulasıdır. Burada karşılaştırmada kullanılan kapulalar arasında en uygun kapulayı bulmak için Akaike bilgi kriteri ve Bayesian bilgi kriteri kullanılmıştır.

In statistics theory, it has been studied to understand dependency structure between variables for many years and some methods have been developed to reveal this dependency structure. Recently, one of the most effective methods for this purpose are copula functions. The ability to easily construct bivariate or multivariate distributions with the help of the copula functions has also increased the relevance of the copula. In this thesis, dependency structure of order statistics which are widely used in statistical hypothesis, prediction problems, statistical process controls, reliability, risk management and many applied areas, have been investigated with copulas. Firstly, dependency relations of the extreme order statistics have been examined and the suitability of Clayton, Frank, Gumbel, Gaussian, Farlie-Gumbel-Morgenstern and min-max-copula families to the data set has been explored by Chi-square goodness of fit test from depending on the change of these relations. Secondly, a new mixture copula has been obtained by creating a linear combination of product copula with copula which is obtained with marginal distributions of order statistics which was proposed by Dolati and Úbeda-Flores (2009). Relationships with significant copulas, symmetry, quadrant dependency, concordance, and new bounds for Spearman's rho and Kendall's tau of new mixture copula is obtained. It is seen that the new mixture copula is found as negative quadrant dependence. In addition, a new form of Farlie-Gumbel-Morgenstern copula is obtained by applying Farlie-Gumbel-Morgenstern copula to new mixture copula. Because the new mixture copula has negative quadrant dependency, the new form of Farlie-Gumbel-Morgenstern copula has been found to have a stronger negative dependency. The new form of the Farlie-Gumbel-Morgenstern copula has been compared to some copulas. These are Farlie-Gumbel-Morgenstern, Gaussian and Frank copulas. To find the best-fit copula between the copulas used in the comparison, Akaike information criterion and Bayesian information criterian are used.