Zaman uzayı kısmi spektral yönteminin uzun zaman kararsızlığı probleminin analizi ve düzeltilmesi

Abstract

Zaman Uzayı Kısmi Spektral global bir yöntem olduğundan, sınır koşullarının uygulanma tekniğinden direkt etkilenmektedir. Karakteristik değişkenler, yöntemin konformal olmasını sağlayan altuzayların tanımlanabilmesi ve sınır koşullarının uygulanması için yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu tez çalışmasında karakteristik değişkenler ile mükemmel elektrik iletken sınır koşullarının uygulanması durumunda ortaya çıkan uzun zaman kararsızlık problemi detaylı şekilde incelenerek, bu probleme bir çözüm önerilmiştir. Öncelikle sınır koşullarının karakteristik değişkenlerin direkt kullanımı ve karakteristik değişkenler sonrası fiziksel sınır koşullarının tekrar uygulanması ile ortaya çıkan durumlar incelenmiştir. Bu incelemede uzun zaman kararsızlığı probleminin sebebi analitik olarak formüle edilerek ortaya konulmuştur. Daha sonra analitik sonuçların nümerik olarak da sağlamasının yapılması için tüm sistem tek bir matrise indirgenmiş ve sonuçta elde edilen matris, matris özdeğer yöntemiyle analiz edilmiştir. Analitik ve nümerik analizler elde edilen sonuçların bir biri ile tutarlı olduğu görülmüştür. Bu sonuçlar içi boş bir ve iki boyutlu rezonatör problemlerinin çözülmesiyle hesaplanan zaman uzayı işaretleriyle de doğrulanmıştır. Buna göre karakteristik değişkenlerin direkt kullanımı veya karakteristik değişkenler sonrası fiziksel sınır koşullarının tekrar uygulanması ile mükemmel iletken sınır koşullarının uygulaması uzun zaman kararsızlık problemini ortaya çıkmaktadır. Uzun zaman kararsızlık probleminin giderilmesine yönelik olarak, karakteristik değişkenlerin uygulanmasının Maxwell denklemlerinde oluşturduğu bozulmanın giderilmesi ihtiyacı analitik analizlerde görülmüştür. Bu amaçla oluşturulan özel bir matris sisteme dâhil edilmiştir. Önerilen bu yeni sezgisel yaklaşım da diğer yaklaşımlarda olduğu gibi analitik ve nümerik olarak analiz edilmiştir. Sonuç olarak yine boşluk rezonatörü problemin üzerinden sistemin uzun zaman kararsızlıktan kurtarıldığı ispatlanmıştır.

Since pseudospectral time domain method is a global method, it is affected by the technique by which boundary conditions are implemented. Characteristic variables are commonly utilized in order to define subdomains and application of boundary conditions which provide the conformity of the method. In this thesis, a detailed analysis of the long-time instability caused by the implementation of perfect electric conductor boundary conditions using characteristic variables and a solution is proposed. First, the boundary condition implementation by using only characteristic variables and then by using physical conditions after characteristic variables implementation are analyzed. In this analysis, the reason of long-time instability problem is analytically formulized and presented. Afterwards, the whole system of equations is reduced to a single matrix and analytical solutions are verified by using matrix eigenvalue method on the obtained matrix. It is seen that the analytical and numerical solutions are consistent with each other. These results are verified by the time domain signal obtained from the solution of one and two dimensional cavity resonator problems. The implementation of the boundary values by one of the approaches, direct application of the characteristic variables or implementation of physical boundary conditions after the application of characteristic variables yields to long-time instability. From the analytical analysis, it is seen that the degeneracy of the Maxwell's equations caused by the implementation of characteristic variables must be fixed, in order to correct for the long-time instability problem. For this purpose, a special matrix is introduced into the system. This new heuristic approach is analytically and numerically analyzed as the former approaches. Finally, it is applied on the cavity resonator problem and it is proven that the system is cleared of the long-time instability problem.