Dual uzayda bazı eğrilerin dual bishop çatısına göre karakterizasyonları

Abstract

Eğrilerin diferansiyel geometrisi farklı uzaylarda farklı çatılara göre çalışılan en önemli alanlardan birisidir. 3-boyutlu Öklid uzayında bir eğrinin teğet, asli normal ve binormal vektörlerinden oluşan Frenet çatısı bu eğrinin diferansiyel geometrisinin çalışılabilmesi için en iyi bilinen bir ortonormal çatıdır. Ayrıca bir uzay eğrisinin şekli, yani uzaydaki yerel davranışı bu eğrinin eğrilik ve burulması ile tamamen belirlidir. Dolasıyla bir eğrinin tamamen incelenebilmesi için en azından üçüncü mertebeye kadar sürekli türevlenebilmesi gerekmektedir. Eğrilerin incelenmesinde Frenet çatısıyla aynı avantajlara sahip ve Frenet çatısıyla karşılaştırılabilen başka çatılar da vardır. Bunlardan birisi 1975 yılında Richard L. Bishop tarafından tanımlanan Bishop çatısıdır. Bu çatı bir eğrinin ikinci türevinin tamamen sıfır olduğu durumda bile iyi tanımlanan bir hareketli çatıdır. Bishop çatısı kullanılarak uzay eğrileri ile ilgili birçok çalışma yapılmış ve değişik karakterizasyonlar verilmiştir. Eğrilerin incelendiği bir uzay da dual uzayıdır. dual uzayı 3-boyutlu Öklid uzayını içeren 6-boyutlu bir reel uzay olarak göz önüne alınabileceğinden dual uzayındaki eğrilere Öklid uzayındaki eğrilerin bir doğal genişlemesi olarak bakılabilir. Bu nedenle birçok araştırmacı dual uzayında dual Frenet ve dual Bishop çatılarını kullanarak eğrileri incelemektedir. Bu çalışmada dual Bishop çatısı kullanılarak dual genel helisler, dual slant helisler, dual Darboux helisler ve dual benzer (similar) eğriler gibi bazı eğrilerin bazı karakterizasyonları verilmiştir. Ayrıca dual birim küre üzerindeki eğrilerin dual Frenet çatısından yararlanılarak dual Bishop çatısına göre dual küresel gösterge eğrileri elde edilmiştir.

The differential geometry of curves is one of the most significant areas that are studied according to different frames in different spaces. Frenet frame which consists of the tangent, principal normal, and binormal vectors of a curve in 3-dimension Euclid Space is the best known ortonormal frame for study the differential geometry of this curve. Furthermore, the shape of a space curve, in other words, the local behaviour in space is completely determined by the curvature and torsion of this curve. Therefore, the curve must be continuously derivatiable up to at least 3rd order as a curve can be completely studied. There are also the other frames which have the same advantages as Frenet frame and can be compared with Frenet fame in studying of the curves. One of them is Bishop frame that is defined by Richard L. Bishop in 1975. This frame is a moving frame which is well-defined even when the curve has vanishing second derivative. Several studies about space curves by using Bishop frame did and various characterizations are given. Another space in which curves are studied is dual space . The curves in can be seen as natural expansion of the curves in Euclid space due to the fact that can be able to take into consideration as a 6-dimension reel space including 3-dimension Euclid space . So, some researchers have studied these curves by using dual Frenet and dual Bishop frames in dual space .In this study, some characterizations of dual general helices, dual slant helices, dual Darboux helices, and dual similar curves by using dual Bishop frame are studied. Also, dual spherical indicatrix curves according to dual Bishop frame are obtained with the help of dual Frenet frame of curves on dual unit sphere.