Tau-p dönüşümünün tersi için cebirsel rekonstrüksiyon tekniğinin uygulanması

Abstract

τ, p ϵ ℝ olmak üzere,R{f(x,y)}(p,τ)=∫_R▒〖f(x,τ+px)dx〗integrallerinden f(x,y) fonsiyonunun bulunması probleminin yaklaşık çözümü için Cebirsel Rekonstrüksiyon Tekniği (ART-Algebraic Reconstruction Technique) araştırılmıştır. R{f(x,y)}(p,τ) dönüşümü sismolojide önemli uygulamalara sahip olup, tau-p dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. Tau-p dönüşümü ve Radon dönüşümü arasındaki ilişkiden yararlanılarak bu dönüşümlerin ayrık formları arasındaki ilişki ortaya konulmuştur. Bu problemlerin ayrık modellemesinden ortaya çıkan denklem sistemleri genellikle kötü-şartlanmış ve büyük ölçekli olup, bu çalışmada ortaya çıkan denklem sistemlerinin yaklaşık çözümü için dizisel iteratif yöntemlerden olan Kaczmarz, simetrik Kaczmarz ve rastgele seçimli Kaczmarz yöntemleri kullanılmıştır. Ayrıca yaklaşık çözüm ve kesin çözümün karşılaştırılmasına yönelik örnekler verilmiş, gürültü hatasının yaklaşık çözüme etkisi ve yarı-yakınsama davranışı gösterilmiştir.

Algebraic reconstruction technique (ART) has been investigated for the approximate solution of the problem of finding the function f(x,y) from the integralsR{f(x,y)}(p,τ)=∫_R▒〖f(x,τ+px)dx〗,where τ, p ϵ ℝ. R{f(x,y)}(p,τ) transform has important applications in seismology and is called as tau-p transform. By using the relation between tau-p transform and Radon transform, the relationship between the discrete form of these transforms is obtained. The system of equations derived from the discrete models of these problems are often ill-conditioned and large-scaled, and the Kaczmarz, symmetric Kaczmarz and randomized Kaczmarz methods, which are sequential iterative methods, are used for approximating the solution of the resulting equation systems. In addition, examples are given for comparing the approximate solution and exact solution, and the effect of noise error to approximate solution and semi-convergence behavior are shown.