Bazı kısmi fark denklemlerinin salınımlılığı üzerine

Abstract

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde kısmi fark denklemlerinin salınımlılığı ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir.İkinci bölümde fark denklemleri ve kısmi fark denklemlerinin salınımlılığı ile ilgili temel bilgiler verilmiş olup, bunlara ilişkin bazı teorem ve lemmalar hatırlatılmıştır.Üçüncü bölümde?_{m}^{r}?_{n}^{h}y_{m,n}+(-1)^{r+h+1}py_{m-?,n-?}=0yüksek mertebeden sabit katsayılı lineer kısmi fark denklemlerinin salınımlılığı için gerek ve yeter koşullar elde edilmiştir. Burada m,n,?,??N, r,h?N? ve p negatif olmayan bir reel sayıdır. ?_{m} ve ?_{n} bilindiği gibi tanımlı kısmi fark operatörleridir.Dördüncü bölümde?_{m}^{r}?_{n}^{h}y_{m,n}+p_{m,n}f(y_{m-?,n-?})=q_{m,n}yüksek mertebeden lineer olmayan ikinci yanlı kısmi fark denklemlerinin salınımlılığı için bazı kriterler elde edilmiştir. Burada p_{m,n} ve q_{m,n}, N² üzerinde tanımlı reel sayıların iki değişkenli dizileri, m,n,?,??N, r,h?N?, ?>0 olmak üzere f(x)=x^{?}sgnx özel durumunu içeren f fonksiyonu, x?0 için xf(x)>0 koşulunu sağlar. ?_{m} ve ?_{n} bilindiği gibi tanımlı kısmi fark operatörleridir.Son bölümde?_{n}²y_{m,n}+p_{n}?_{n}y_{m,n}+q_{n}f(y_{m,n-?})-r_{n}Ly_{m,n}=0, ?(m,n)??×N_{n?}ve?_{n}²y_{m,n}+p_{n}?_{n}y_{m,n+1}+q_{n}f(y_{m,n-?})-r_{n}Ly_{m,n}=0, ?(m,n)??×N_{n?}lineer olmayan gecikmeli ayrık dalga denklemlerinin salınımlılığı ile bunların indirgenmiş lineer limit denklemlerinin salınımlılığı arasındaki ilişkiler araştırılmıştır. Burada M?N_{n?}, ?={1,2,?,M}, ??N, {p_{n}}, {q_{n}} ve {r_{n}} reel sayı dizileri, f sürekli fonksiyonu konveks ve x?0 için xf(x)>0 ve Ly_{m,n} , ayrık Laplace operatörüdür.

In this study, consist of five chapter. In the first chapter, information about oscillation of partial difference equations some studied before is given.In the second chapter, some main topics of oscillation of difference equations and partial difference equations are given and some theorems and lemmas concerning these concepts also are reminded.In the third chapter, necessary and sufficient conditions for the oscillation of the higher order linear partial difference equation with constant coefficient?_{m}^{r}?_{n}^{h}y_{m,n}+(-1)^{r+h+1}py_{m-?,n-?}=0are obtained, where m,n,?,??N, r,h?N?, p is a nonnegative real number. The forward partial differences ?_{m} and ?_{n} are defined as usual, i.e.?_{m}A_{m,n}=A_{m+1,n}-A_{m,n} and ?_{n}A_{m,n}=A_{m,n+1}-A_{m,n}.In the fourth chapter some oscillation criteria for the forced oscillation of a class of high order nonlinear partial difference equation?_{m}^{r}?_{n}^{h}y_{m,n}+p_{m,n}f(y_{m-?,n-?})=q_{m,n}are established, where m,n,?,??N, r,h?N?, p_{m,n} and q_{m,n} are double real sequences defined on N², xf(x)>0 for x?0, which includes the special case f(x)=x^{?}sgnx for ?>0. The forward partial differences ?_{m} and ?_{n} are defined as usual.In the last chapter relations between the oscillation discrete nonlinear delay wave equations of the form?_{n}²y_{m,n}+p_{n}?_{n}y_{m,n}+q_{n}f(y_{m,n-?})-r_{n}Ly_{m,n}=0, ?(m,n)??×N_{n?}and?_{n}²y_{m,n}+p_{n}?_{n}y_{m,n+1}+q_{n}f(y_{m,n-?})-r_{n}Ly_{m,n}=0, ?(m,n)??×N_{n?}and the oscillation of their linear limiting equations are investigated, where M?N_{n?}, ?={1,2,?,M}, ??N,{p_{n}},{q_{n}},{r_{n}} are sequences of real numbers, f is continuous and convex, uf(u)>0 for u?0 and Ly_{m,n} is the discrete Laplacian operator.