Zaman skalasında bazı kısmi dinamik denklemlerin salınımlılığı üzerine

Abstract

Son yıllarda diferensiyel denklemler teorisi ve fark denklemleri teorisi ile ilgili araştırmalar hızla artmaktadır. Diferensiyel denklemler ile ilgili birçok sonucun fark denklemleri ile benzer olmasına rağmen farklı olduğu durumlar da bulunmaktadır. Zaman skalasında dinamik denklemlerin çalışılması bu farklılıkları ortaya çıkarır ve bu sayede sonuçların diferensiyel denklemler ve fark denklemleri için ayrı ayrı ispatlanmasına gerek kalmaz. Zaman skalası teorisi, Stefan Hilger tarafından ayrık ve sürekli analizi birleştirmek amacıyla kurulmuştur. Zaman skalası analizinin temel fikri, tanım kümesi reel sayıların boş olmayan keyfi kapalı bir alt kümesi olarak adlandırılan bir zaman skalası olduğunda bir dinamik denklem için sonuçları ispatlamaktır.Literatürde kısmi diferensiyel denklemler ve fark denklemlerinin salınımlılığı ile ilgili olarak birçok sonuç elde edilmiştir. Bununla birlikte yapılan araştırmalarda bu sonuçları kısmi dinamik denklemlerde birleştiren çalışmaya rastlanamamıştır.Bu tezin birinci bölümünde zaman skalası teorisi tanıtılmıştır. İkinci bölümde dinamik denklemler için gerekli olan zaman skalası kavramından bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde bazı kısmi dinamik denklemlerin salınımlılığı incelenmiştir. Dördüncü ve son bölümde sırasıyla gecikmeli bazı kısmi dinamik denklemler ve bir neutral kısmi dinamik denklem için salınımlılık şartları araştırılmıştır.

In recent years, there has been much research activity concerning the theory of differential and difference equations. Although many results concerning differential equations are similar to the corresponding difference equations, there are also discrepancies. The study of dynamic equations on time scales reveals such discrepancies, and helps avoid proving results twice, once for differential equations and once again for difference equations. The theory of time scales was introduced by Stefan Hilger in order to create a theory that can unify discrete and continuous analysis. The general idea is to prove a result for a dynamic equation where the domain of the unknown function is a so-called time scale, which may be an arbitrary closed subset of the reals.In the literature, there are so many results in the oscillation theory of partial difference and differential equations. However to the best of our knowledge, there is no work done attempting to unify these results by means of the time scale theory for partial dynamic equations.In the first section of the thesis, we introduce time scale theory. In the second section, we mention the concept of time scales of which dynamic equations are defined on. In the third section, we study the oscillation of some partial dynamic equations. In the fourth and the last section, we study the oscillation criterias for some delay partial dynamic equations and a neutral partial dynamic equation, respectively.