Option pricing with fractional Brownian motion

Abstract

Bu tezde, kesirli Brown hareketi'nin temsili ve temel özellikleri incelenmiştir. KBh'ye göreWick-Ito-Skorohod (WIS) ve kesirli WIS integrallerinin yapılandırılmasıaraştırılmıştır. Buintegraller için Ito tarzı formüller ve Girsanov tarzı teoremler ifade edilmiştir. Finansal uygulamalardafBm kullanımı özetlenmiş ve Avrupa tipi alım opsiyonu için kesirli Black&Scholesfiyatı elde edilmiştir. KBh'nin istatistiksel özellikleri incelenmiştir. Kendine-benzerlik parametresiH için tahmin yöntemleri ve kBh için simülasyon yöntemleri özetlenmiştir. R/S yöntemiuygulanmış ve elde edilen H tahmin değerleri Avrupa tipi alım opsiyonunun kesirli Black&Scholesfiyatının elde edilmesinde kullanılmıştır. Daha sonra elde edilen bu fiyatlar Black&Scholesfiyatları ile karşılaştırılarak opsiyon fiyatlarında uzun dönem bağlılık etkisi gösterilmiştir.

In this thesis, the representation of fractional Brownian motion(fBm)and its fundamental properties are examined. Construction ofWick-It?o-Skorohod (WIS) and fractional WIS integrals are investigated. An It?o type formulaand Girsanov type theorems are stated. The financial applications of fBm are mentioned andthe Black&Scholes price of a European call option on an asset which is assumed to follow ageometric fBm is derived. The statistical aspects of fBm are investigated. Estimators for theself-similarity parameter H and simulation methods of fBm are summarized. Using the R/Smethodology of Hurst, the estimations of the parameter H are obtained and these values areused to evaluate the fractional Black&Scholes prices of a European call option with differentmaturities. Afterwards, these values are compared to Black&Scholes price of the same optionto demonstrate the effect of long-range dependence on the option prices. Also, estimationsof H at different time scales are obtained to investigate the multiscaling in financial data. Anoutlook of the future work is given.