İntegral dönüşümlerinin başlangıç ve sınır değer problemlerine uygulanması

Abstract

Fizik, mühendislik ve uygulamalı matematik alanlarında en çok karşımıza çıkan denklem türleri adi ve kısmi türevli denklemlerdir. Bu denklemlerin birçok çözüm yöntemi mevcuttur. Bunların içerisinde en yaygını elbette Laplace dönüşümünün kullanımıdır. Fakat bazı durumlarda Laplace dönüşümünün kullanımı çözüm sürecini uzatmakta, uzun ve karmaşık cebirsel işlemler gerektirmekte ve hatta bazen çözüme Laplace dönüşümü ile ulaşılamamaktadır. Genelleştirilmiş Laplace dönüşümünün kullanımı uygun katsayılı adi ve başlangıç-sınır değer problemlerinin çözümünü kolaylaştırmakta ve yine çözülemeyen bazı denklemlerin çözümü bu yöntem ile bulunabilmektedir. Bu tezde de genelleştirilmiş Laplace dönüşümü ile bu tür denklemlerin çözümüne yer verilmiştir. Bunun yanı sıra bu tür denklemlerden hangilerinin genelleştirilmiş Laplace dönüşümü ile çözüme ulaşabileceğini çözüme başlamadan da kestirebilmek adına kullanılabilecek denklemlerde genelleştirmeler yapılmıştır. Bulunan sonuçlar ışığında hazırlanan iki makale 4. ve 5. IECMSA uluslararası matematik konferansında sunulmuştur. Yine hazırlanan makalelerden bir tanesi uluslararası akademik bir dergi olan `Konuralp Journal of Mathematics` dergisinde yayınlanmıştır.

Ordinary and partial differential equations are the most commonly used equation types that are used in Physics, Engineering and applied mathematics. For these equations, there are several solution techniques available in the literature. One of the most popular solution alternatives is the usage of integral transforms, especially Laplace transform. However, in some situations using Laplace transform would cause a solution process with long algebraic calculations and also it would make it impossible to find the solution. In these kind of ordinary differential equations and/or initial and boundary value problems with appropriate factors using generalized Integral transforms would make the solution process easier and shorter. By using generalized Laplace transform Ln, it is even possible to find solutions of O.D.E and initial and boundary value problems that could not be found by using the ordinary Laplace transform.In this thesis, the usage of generalized Laplace transform within these kinds of situations that are explained above is discussed. At the same time, since it is very important and time saving to be able to understand what kind of initial and boundary value problems and O.D.E.s can be solved by using this technique, various generalizations of these equations and problems will also be discussed.The two articles that have been prepared in the light of these findings were presented at the 4th and 5th International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications and also one of the papers was published at an international mathematics journal, Konuralp Journal of Mathematics.