On applications of function fields in coding theory

Abstract

cebirsel fonksiyon cisimlerinin kodlama teorisine uygulamarı üzerine Özet Sonlu cisimler üzerinde tanımlanmış fonksiyon cisimleri ve kodlama teorisi arasındaki ilişki Goppa'nm geometrik Goppa kodları olarak bilinen önemli gözlemiyle başladı. Goppa, fonksiyon cisimlerinin Riemann-Roch uzayları ve bir dereceli (rasyonel) asal bölenlerini kullanarak iyi parametrelere sahip kodlar oluşturdu. Goppa'nın çalışmasından bu yana kodlar ve fonksiyon cisimleri arasındaki ilişki yoğun olarak çalışıldı ve kodlama teorisine başka uygulamalar da bulundu. Bu tezin amacı özellikle iki uygulamayı anlamaktır. Birincisi Goppa'nın fikri ve yüksek dereceli asal bölenler kullanarak Xing-Niederreiter-Lam ve Heydtmann tarafından elde edilen genellemedir, ikinci uygulama fonksiyon cisimlerinin rasyonel asal bölen sayılarını kullanarak cyclic kod adı verilen kodların minimum uzaklıkları hakkında sonuçlara varma metodur. Burda özellike iki kod örneği incelenmiştir; binary Ham ming ve BCH kodları. Anahtar kelimeler: Cebirsel fonksiyon cismi, kodlama teorisi, geometrik Goppa kodu, cyclic kod. vıu

ON APPLICATIONS OF ALGEBRAIC FUNCTION FIELDS TO CODES Abstract The relation between algebraic function fields over finite fields and coding the ory started with Goppa's important code construction, which is nowadays called geometric Goppa codes. He used Riemann-Roch spaces of divisors and degree one (rational) places of a function field to write codes with good parameters. Since Goppa's work, interaction between function fields and codes has been in vestigated extensively and further applications in coding theory have been found. The aim of this thesis is to describe two of these applications. The first is Goppa's idea and its generalization by Xing-Niederreiter-Lam and Heydtmann using higher degree places of the function field. The second application is the use of number of rational places of a function field to estimate the minimum distance of cyclic codes. We give two examples of cyclic codes; binary Hamming and BCH codes. Keywords: Algebraic function field, coding theory, geometric Goppa code, cyclic code. vu