On ramification in extensions of rational function fields

Abstract

K (x) ve K (z) rasyonel fonksiyon cisimleri olsun; oyle ki K (x), K (z) uzerinde ayrısabilir bir cisim genislemesidir. Oncelikle, K (x)'in, K (x)/K (z) genislemesindeki dallanmıs yerlerin sayısına bakılmıstır. Daha sonra, ayrısabilir bir polinom olan f (x) ∈ K [x] ve bir fonksiyon cismi olan F'in bir elamanı z icin f (x) = z denkligi ile tanımlı F(x)/F genislemesi ele alınmıstır. Bu cisim genislemelerindeki dallanma indexleri ve fark kuvvetleri icin formuller verilmistir. Aslında; verilen bu formuller Kummer ve Artin-Scheier genislemeleri icin verilen bilindik formullerin bir genellestirilmesidir.

Let K (x) be a rational function field, which is a finite separable extension of the rational function field K (z). In the first part of the thesis, we have studied the number of ramified places of K (x) in K (x)/K (z). Then we have given a formula for the ramification index and the different exponent in the extension F (x) over a function field F, where x satisfies an equation f (x) = z for some z ∈ F and separable polynomial f (x) ∈ K [x]. In fact, this generalizes the well-known formulas for Kummer and Artin-Schreier extensions.