On the number of primes less than a given magnitude

Abstract

Bu çalışmada, herhangi bir x sayısına kadar olan asal sayıların kaç tane olduğuna dair sonuçlar veren Asal Sayı Teoreminin farklı ispatları verilmiştir. Öncelikle Asal Sayı Teoremini kompleks fonksiyon teorisi kullanmadan, elementer metodlarla ispatlıyoruz. Bu ispatta x'e kadar olan asalları sayan fonksiyona, hata terimi içermeyen bir asimptotik buluyoruz. İkinci kısımda ise, Asal Sayı Teoremine üstel hata terimi de içeren iki farklı analitik ispat veriyoruz. İspatlarda Riemann zeta-fonksiyonun özellikleri sıkça kullanıldığından, bu fonksiyonun bir çok özelliği de çalışılmıştır. Son olarak aritmetik dizilerde Asal Sayı Teoremini ele alıyoruz. Bu teorem ise belirli bir aritmetik diziye ait, x'ten büyük olmayan asalların sayısına bir asimptotik vermektedir. Riemann zeta-fonksiyonunun Asal Sayı Teoreminin ispatında oynadığı rolü, bu kısımda Dirichlet L-fonksiyonları üstlenmiştir. Bu sebeple son bölümde Dirichlet L-fonksiyonunun özellikleri çalışılmıştır.

In this study, we give different proofs of the Prime Number Theorem which gives an estimate on the number of primes not exceeding x, for a given real number x. We first prove the theorem with elementary methods in which we do not get use of any complex function theory. This proof does not give an error term but rather gives an asymptotic to the function counting primes up to x. In the second part we give two analytic proofs of the PNT with exponential error terms, the last one providing a better error term. Many of the properties of the Riemann zeta-function are studied since we use them frequently along the way. Finally we give the PNT for arithmetic progressions which gives an estimate on the number of primes not exceeding x belonging to a certain arithmetic progression. The role of the Dirichlet L-functions serves as an analogue to Riemann zeta-function's role in the proof of PNT. So we study the properties of the Dirichlet L-functions as well.