Korteweg-de vries equation on bounded domains

Abstract

Bu çalışmada, sınırlı aralıklarda Korteweg-de Vries denkleminin çözümleriyle ilgili, varlık, teklik ve stabilite sonuclarını anlamaya çalıştık. İlk olarak, periyodik sınır koşulları altında, zayıf çözümlerin varlığını ve tekliğini gösterdik. Ayrıca, bu çözümler için H^2 Sobolev uzayında bir soğurucu kümenin varlığını da ispatladık. Daha sonra, Korteweg-de Vries denklemi için, periyodik olmayan bir baslangiç-sınır değer probleminin düzgün çözümlerinin varlığını ve tekliğini gösterdik. Periyodik olmayan durumda, çözümlerin, yeterince küçük başlangıç koşulları altında, exponensiyel olarak azaldığını da ispatladık.

In this thesis, we study existence, uniqueness and stability results for the solutions of initial-boundary value problems for the Korteweg-de Vries equation on bounded domains. First, we give a proof of the existence and uniqueness of weak solutions in the case of periodic boundary conditions. We also give a proof for the existence of an absorbing set in the Sobolev space H^2. Then, we give a proof of the existence and uniqueness of regular solutions of a non-periodic initial-boundary value problem for the Korteweg-de Vries equation. In the non-periodic case, the exponential decay of solutions for small enough initial data is also shown.