Diferensiyellenebilir manifoldlarda Lie grup yapılar

Abstract

Yüksek lisans tezi olarak hazırlanan bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, Lie gruplarının ve Lie cebirinin tarihsel gelişimi ifade edilerek konunun öneminden bahsedildi.İkinci bölümde, Öklid uzayı ve diferensiyellenebilir manifoldlar üzerine bazı temel tanım ve teoremler verildi.Üçüncü bölümde, Riemann manifoldları, konneksiyon ve Riemann eğrilik tensörü, kesit eğriliği, Riccieğriliği ve skaler eğrilik kavramlarının bazı temel özelliklerinden bahsedildi.Dördüncü bölümde, Lie türevi ve integral eğrileri hakkında temel bilgiler sunuldu. Lie gruplarının bazı örneklerinden bahsedildi. Lie cebiri tanıtılarak bu örneklerin Lie cebirleri incelendi.Beşinci bölümde, Lie grupları ve Lie cebiri üzerinde tanımlanan bir parametreli dönüşüm grupları, üstel dönüşümler ve infinitesimal üreteçlerin özellikleri incelendi.Altıncı bölümde, Lie grubu homomorfizmlerinin teorisi sunularak, bir Riemann manifoldu üzerinde Liegrubu yapıları çalışıldı. Sol-invariant, sağ invariant ve bi-invariant metrik kavramlarından bahsedildi. Bi-invaryant metriğe sahip bir Riemann manifoldunun kesit eğriliği, Ricci eğriliği ve skaler eğriliği hesaplandı.

This study prepared as a graduate thesis covers six chapters.In the first chapter, the historical developments of Lie groups and Lie algebras are expressed and the importance of these topics are discussed.In the second chapter, some basic definitions and theorems on Euclidean spaces and smooth manifolds are given.In the third chapter, some basic facts related to the notions of Riemannian manifolds, connection, Riemannian curvature tensors, sectional curvature, Ricci curvature, scalar curvature are mentioned.In the fourth chapter, some basic facts dealing Lie derivative and integral curve are presented. Some examples of Lie groups are mentioned. Furthermore, the notion of Lie algebra is introduced and Lie algebra of these examples investigated.In the fifth section, some properties of one parameter translation groups, exponential maps and infinitesimal generators defined on Lie groups and Lie algebras are investigated.In the sixth chapter, the theories of Lie groups homomorphisms are presented and the structures of Lie groups are studied. The notions of left invariant, right invariant and bi-invariant metrics are mentioned. Sectional curvature, Ricci curvature and scalar curvature of a Riemannian manifold with a bi-invariant metric are computed.