Graf teorisinin bazı uygulamaları ve çapraz (crossed) çarpım grafı

Abstract

Bu tez beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, graf teorisinin tarihçesinden bahsedilerek grafın fen bilimlerindeki uygulama alanları incelenmiştir. İkinci bölümde ise grafın tanımı ve grafın bazı temel özellikleri hakkında bilgi verilmiştir.Üçüncü bölümde, ilk olarak grup sunuşu, serbest grup, direkt çarpım, yarı-direkt çarpım ve çapraz (crossed) çarpım grupları ile ilgili temel bilgilerden bahsedilmiştir. Daha sonra bu çarpım gruplarının sunuşları ve örnekleri verilmiştir.Dördüncü bölümde,sonlu iki devirli grubun çapraz çarpım grubu ve bu grubun sunuşu göz önünde bulundurularak yeni bir graf tanımlanmıştır. Daha sonra bu grafının bazı spektral özellikleri (çapı, girth, derece dizisi, maksimum ve minimum dereceleri,baskınlık sayısı, klik sayısı ve kromatik sayısı vb.) incelenmiştir ve ilgili sonuçlar ispatlanmıştır. Çapraz çarpımın bazı özel durumlarında elde edilen direkt çarpım ve yarı-direkt çarpım grupları için de graf örnekleri elde edilmiştir. Bu bölümün son kısmında ise, elde edilen yeni grafın komşuluk matrisi, derece matrisi, ilişki matrisi ve bu grafa izomorf olan başka bir graftan söz edilmiştir.Son bölümde, önceki bölümlerde elde edilen sonuçların bir değerlendirmesi yapılmıştır.

This thesis consists of five main chapters. In the first chapter,by mentioning the history of graph theory it has been investigated the application areas of graph in science. In the second chapter, it has been given some information about the definition of graph and the basic properties of graph .In Chapter 3,firstly, it has been given general information about group presentation, free group,direct product, semi-direct product and crossed product of groups. Later,it has been given presentations and examples of these product ofgroups.In Chapter 4, by considering a presentation of crossed product of two finite cyclic groups, it has been defineda new graph . Then, it has been investigated some spectral properties of this graph (diameter, girth, maximum and minimum degrees, degree sequence, domination number, chromatic and clique numbers) and proventhe reletad results of this graph. Also, according to some special cases of crossed product structure, it has been obtained examples of graph of direct product and semi-direct product of groups. At the end of this section, by using this new graph, it has been mentionedabout adjacency matrix, degree matrix, relaation matrix of this graph and another new graphwhich is isomorphic to the given graph.In the last chapter, the results which are obtained from previous chapters have been summarized.