Kontakt geometrinin temelleri

Abstract

Yapılan bu tez çalışması, Andrew Mclnerney 'in First Steps in Differential Geometry adlı kitabı temel alınarak hazırlanmıştır.Bu araştırmanın odak noktası, kontakt geometrinin fizik ve matematik disiplinleri ile ilişkisi olup, bu çalışmada kontakt geometrinin fiziksel ve matematiksel yorumları ele alınmıştır.Bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde kontakt geometrinin tarihçesi ve gelişimi hakkında bilgi verilip, kontakt geometrinin çalışma alanlarına değinilmiştir.İkinci bölümde tez çalışması boyunca kullanılan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.Materyal ve metot kısmı bu çalışmanın üçüncü bölümü olup, kontakt geometrinin fiziksel ve matematiksel yorumları burada vurgulanmıştır. Fizik alanındaki yorum, kontakt elemanlar ile Huygens prensibi arasındaki bağlantı olarak ele alınmıştır. Matematiksel yorum ise kontakt yapının diferansiyel denklemler, kontakt vektör alanları ve kontakt diffeormorfizmler arasındaki ilişkiden söz edilerek yapılmıştır.Bu konulara ek olarak Darboux teoreminin kontakt geometri için nasıl kullanıldığı ifade edilmiştir ve bu teoremin bir sonucu olarak kontak yapılar yorumlanmıştır.Bu tez çalışmasının dördüncü bölümü sonuç bölümü olup, kontakt geometrinin önemine ve bu tez çalışmasının literatüre sağladığı katkılara değinilmiştir.Son olarak bu araştırma boyunca yardımcı olan kaynaklar bu çalışmanın beşinci bölümünü oluşturmaktadır.

This thesis was based on the book Andrew Mclnerney's first Steps in Differential Geometry. The focus of this research is on the relationship between contact geometry with physics and mathematics disciplines and the physical and in this study mathematical interpretations of contact geometry have been discussed.This thesis consists of five chapters. In the first chapter, the history and development of contact geometry is given and the research areas of contact geometry are discussed.In the second chapter, the basic definitions and theorems used throughout this thesis are given.The material and method part is the third chapter of this study and the physical and mathematical interpretations of contact geometry are emphasized here. The interpretation in the field of physics is considered as the connection between contact elements and Huygens principle. The mathematical interpretation is made by talking about the relationship between contact structures with differential equations, contact vector fields and contact diffeormorphisms.In addition to these topics, how Darboux's theorem is used for contact geometry is expressed and contact structures are interpreted as a result of this theorem.The fourth chapter of this thesis is the conclusion part. In this part the importance of contact geometry and the contributions of this thesis to the literature are discussed.Finally, the references that assisted throughout this research are included in the fifth chapter of this study.