Kompleks düzlemde Newton metodu

Abstract

Newton metodu en eski kök bulma yöntemlerinden biridir. Bu yöntemin kompleks düzlemdeki polinomlara uygulanmasının bilimsel, eğitimsel ve sanatsal yönleri vardır. Bu anlamda bu metodun polinom kökleri ile ilgili elde edilen çekim havzası portrelerinin çalışılması önem arz etmektedir. Özellikle bilgisayar teknolojisinin son zamanlardaki gelişmelerinden sonra bu konunun bizlere görsel bir şölen sunmasının yanı sıra kompleks düzlemdeki köklerin yakınsama davranışlarının araştırılıyor olması bu konuyu çok daha önemli ve dikkat çekici hale getirmektedir. Newton yöntemini uygularken çözümünü bildiğimiz denklemlerin köklerine yaklaşacak rastgele değerler vermekle başlayan süreçte ve bu işlem sonlana dek ortaya çıkan çekim havzalarının portreleri gerçek anlamda sanat eseri değeri taşımaktadır. Bu portreler polinomların derecelerine ve farklılıklarına göre bizlere birbirinden bağımsız fraktallar sunmaktadır.Bu tez çalışması genel anlamda bir literatür tarama ve derleme niteliği taşımaktadır. Bunun yanı sıra literatürdeki mevcut algoritmalardan biri kullanılarak bilgisayar destekli polinom çekim havzası görüntüleri elde edilerek, üretilen çekim havzası portreleri üzerinde köklerin yakınsama davranışları ile ilgili bazı değerlendirmeler yapılmıştır.Anahtar Kelimeler: Newton-Rapson metodu, Kompleks düzlemde Newton metodu, Çekim havzası, Newton metodunun havza portreleri.

The Newton method is one of the oldest methods of root finding. The use of this method in complex plane have aspects of scientific, educational and art. From this point of view obtaining basin attraction portraits of polynomials by using this method is important. Especially after the recent developments in computer technology, besides it offers us a visual feast it also gives opportunity to investigate convergence properties to a root of a polynomial in complex plane. The portraits of shooting basins that begin by giving the approximations of the equations in Newton method that are known to be the solution to the roots of which we know to be random, and which until this process is terminated, carry a real value of art. These shapes offer independent fractions according to the degrees and differences of polynomials.This thesis study can be thought as a literature review and compilation of the subject. Further, by using one of the algorithm in the literature we try to obtain basin attraction portraits of polynomials in complex plane via computer programming languages and evaluate the convergence behavior in these portraits.Keywords: Newton-Rapson method, Newton method in complex plane, Basin of attraction, Basin portraits of Newton Method.