Finansal akışların optimal kontrol problemleri ve onların nümerik çözümü

Abstract

Bu tez çalışmasında finansal akışların optimal kontrol problemi ele alınmıştır. Tezin birinci bölümünde optimal kontrol problemleri ile ilgili genel bilgilere, literatür araştırmasına ve genel tanım, teorem ve lemmalara yer verilmiştir. İkinci bölümde optimal kontrol problemleri ele alınmış, finansal akışların optimal kontrol problemi ifade edilmiştir. Problemin olası kontroller kümesi, ölçülebilir karesel integrallenebilir fonksiyonların uzayıdır. Daha sonra finansal akışların optimal kontrol probleminin ayrık aynısı ve çözüm yöntemi ifade edilmiştir. Üçüncü bölümde finansal akışların optimal kontrol probleminin iyi konulması ve amaç fonksiyonelinin diferansiyellenebilirliği gösterilmiş. Sonrasında çözüm için gerek ve yeter şart verilmiştir. Daha sonra bu optimal kontrol probleminin sonlu farklar yöntemi ile ayrık aynısı oluşturularak, çözümünün varlığı gösterilmiş, sonlu fark şemasının hatası değerlendirilmiş ve sonlu fark yaklaşımlarının fonksiyonele göre yakınsaklığı incelenmiştir. Üçüncü bölümde elde edilen ayrık optimal kontrol probleminin gradyent izdüşüm yöntemi ile Matlab R2016a programı ile çözüm algoritması inşa edilmiş ve örnek uygulamalara yer verilmiştir. Dördüncü ve son bölümde ise bu tezin daha önce yapılan çalışmalardan farklılığı vurgulanmıştır.

In this thesis, the optimal control problem of financial flows is discussed. In the first chapter of the thesis, general informations about optimal control problems, literature research and general definitions, theorems and lemmas are given. In the second chapter, optimal control problems are discussed and optimal control problem of financial flows is explained. The set of possible controls of the problem is the space of measurable square-integrable functions. Then, the discrete same of the optimal control problem of financial flows and solution method is expressed. In the third chapter, the well-posedness of the optimal control problem of financial flows and the differentiability of the objective function are shown. Then the necessary and sufficient conditions for the solution are given. Then the discrete form of this optimal control problem is created with the finite difference method, the existence of the solution is shown, the error of the finite difference scheme is evaluated and the convergence of the finite difference approaches according to the functional is proved. In the third chapter, the solution algorithm of Matlab R2016a program is constructed by using gradient projection method of discrete optimal control problem and sample applications are given. In the fourth and last part, the difference of this thesis from the previous studies is emphasized.