Banach uzaylarında asimtotik izometrik kopyalar ile sabit nokta teorisi tespiti

Abstract

Asimtotik izometrik l^1 kopyaya sahip olma Banach uzayın genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini bozduğuna işarettir. Bu sonuç ilk olarak Dowling, Lennard ve Turett tarafından verilmiştir. Bu sonucun verildiği çalışmada asıl amaç L^1 Lebesgue Banach uzaylarının yansımalı olmayan tüm alt uzaylarının sabit nokta teorisine sahip olmadığını göstermek olmuştur. Daha sonrasında ise bu kavram vasıtasıyla Banach uzaylarının sabit nokta teorisine sahip olması, yansımalı olması, belirli sınıf fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahip olacak şekilde yeniden normlanması konuları karakterize edilmiş; dolayısıyla bu kavram Banach uzay geometrisi için önemli bir araç olmuştur. Dowling, Lennard ve Turett'in aynı çalışmasında asimtotik izometrik c_0 kopyaya sahip olma kavramı da ele alınmış ve aynı şekilde bu kopyalara sahip Banach uzayların genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahip olmayacağı gösterilmiştir. Bu tez çalışmasında sonsuz boyutlu yansımalı olmayan Banach uzaylarının sabit nokta teorisine sahip olmadıklarının testi için kullanılan bu iki araç incelenmiştir. Unutulmamalıdır ki yansımalı olmayan Banach uzaylarının tamamının sabit nokta teorisine sahip olmadıkları bilinmemektedir fakat düzgün konvekslik, düzgün rotundluk, normal yapıya sahip olma gibi bazı ek geometrik koşullar ile yansımalı Banach uzaylarının sabit nokta teorisine sahip olduğu literatürde gösterilmiştir. Tez çalışmasında öncelikle Banach uzaylarının l^1 veya c_0 izomorfik kopyalarından birine sahip olması ile hangi tür fonksiyonlar için sabit nokta teorisini bozdukları anlatılmıştır. Daha sonra ise asimtotik izometrik l^1 veya c_0 kopyalardan birini içermesi kavramı ele alınmış, bu kavrama denk ifadeler incelenmiş ve bu durumlarda Banach uzayın genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini bozduğu gösterilmiştir.

Having asymptotically isometric copy of l^1 is a sign for a Banach space to fail the fixed point property for nonexpansive mappings. This result was given firstly by Dowling, Lennard and Turett. The main goal was to show that any nonreflexive subspace of the Lebesgue Banach space L^1 fails the fixed point property when the result of containing an asymptotically isometric copy of l^1 was given in the study. Later, using this concept, Banach spaces have been characterized to have fixed point property for certain class of mappings, be reflexive and be renormed to have the fixed point property and so this concept has become an important tool for the geometry of Banach space. In the same study of Dowling, Lennard and Turett, the concept of having asymptotically isometric copy of c_0 was also taken into consideration and similarly it was proven that Banach spaces containing these type of copies cannot have the fixed point property. In this thesis study, these two tools are investigated to test whether or not infinite dimentional nonreflexive Banach spaces fail the fixed point property for nonexpansive mappings. It should not be forgotten that it is unknown whether or not all nonreflexive Banach spaces fail the fixed point property but with some additional conditions such as uniform convexity, uniform rotundness, and normal structure, it was shown in literature that reflexive Banach spaces do have fixed point property. In the thesis study, firstly, it is explained for what type of mappings, the Banach spaces containing isomorphic copy of l^1 or c_0 fail the fixed point property. Next, the concept of having any asymptotically isometric copy of l^1 or c_0 is considered and alternative statements are investigated; then, in these situations, it is shown that Banach spaces fail the fixed point property for nonexpansive mappings.