Heisenberg grubunda Hardy, Rellich eşitsizlikleri ve bu eşitsizliklerin bazı uygulamaları

Abstract

Bu tezde; ilk olarak, sırasıyla ağırlıklı p-alt-Laplace ve ağırlıklı p-biharmonik doğrusal olmayan kısmi diferansiyel eşitsizliklerinden yola çıkılarak, Hⁿ Heisenberg grubunda genel ağırlıklı L^{p} Hardy ve L^{p} Rellich eşitsizlikleri ispatlanmıştır. Burada kullanılan metodlar, Hⁿ üzerinde hem bilinen hem de yeni ağırlıklı Hardy, Rellich ve Heisenberg-Pauli-Weyl tipi eşitsizlikler elde etme adına oldukça pratik ve üretkendir. Hⁿ'de veya Hⁿ'nin bazı alt bölgelerinde çeşitli ağırlık fonksiyonlarına sahip Hardy ve Rellich eşitsizlikleri elde etmek için, sırasıyla ağırlıklı p-alt-Laplace ve ağırlıklı p-biharmonik eşitsizliklerini sağlayan uygun fonksiyonları belirlemek yeterlidir. Bu durum tezin uygulama kısımlarında birçok örnek üzerinde gösterilmiştir. Daha sonra, Hⁿ Heisenberg grubunda, uygun bir fonksiyonun ikinci mertebeden türevi ile birinci mertebeden türevi arasında bir ilişki kuran en iyi sabitli L^{p} Rellich-II eşitsizliği elde edilmiş ve bu eşitsizlikten faydalanılarak ikinci mertebeden Heisenberg-Pauli-Weyl tipi bir eşitsizliğin de geçerli olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, en iyi sabite sahip ağırlıklı L^{p} Rellich-II eşitsizliğinin ispatında kullanılan tekniğe benzer bir teknikle, Rellich-Hardy-Poincaré tipi yeni bir eşitsizlik bulunmuştur. Son olarak, Hⁿ içindeki düzgün sınırlı bir bölgesinde geliştirilmiş iki-ağırlıklı genel L^{p} Hardy ve L^{p} Rellich tipi eşitsizlikler üzerine bazı yeni sonuçlar elde edilmiştir. Bu tipten Hardy ve Rellich eşitsizliklerinin ispatındaki temel dayanak noktalardan biri bazı doğrusal olmayan kısmi diferansiyel eşitsizliklerin varlığı olmuştur. Bu diferansiyel eşitsizliklerin çözümlerinden yola çıkılarak; üstel, logaritmik ve radyal tipli çok çeşitli ağırlık fonksiyonlarına sahip geliştirilmiş L^{p} Hardy ve L^{p} Rellich eşitsizliklerine örnekler verilmiştir.

In this theses, firstly, general weighted L^{p} Hardy and L^{p} Rellich type inequalities are proved on the Heisenberg group Hⁿ via weighted p-sub-Laplace and weighted p-biharmonic nonlinear partial differential inequalities, respectively. The methods used herein are quite practical and constructive for obtaining both known and new weighted Hardy, Rellich and Heisenberg-Pauli-Weyl type inequalities on Hⁿ. To construct various weighted Hardy and Rellich type inequalities on Hⁿ or on some other domains in Hⁿ, it is enough to determine the proper model functions that satisfy weighted p-sub-Laplace and weighted p-biharmonic inequalities, respectively. These cases are demonstrated by giving several concrete examples in the application sections of the thesis. Afterwards, on the Heisenberg group Hⁿ, a sharp weighted L^{p} Rellich-II type inequality which connects first to second order derivatives of an appropriate function is established and by utilizing this sharp inequality it is also shown that a second order Heisenberg-Pauli-Weyl type inequality is valid. Furthermore, with a similar technique as in the proof of sharp weighted L^{p} Rellich-II type inequality, a new Rellich-Hardy-Poincaré type inequality is discovered. Finally, some new results on improved two-weight general L^{p} Hardy and L^{p} Rellich type inequalities on smooth bounded domains in Hⁿ are obtained. The primary tool which is employed in constructing these type of inequalities is existence of some particular nonlinear partial differential inequalities. By specializing the solutions of these differential inequalities, some concrete examples of improved L^{p} Hardy and L^{p} Rellich inequalities including radial, logarithmic and exponential weights are also given.