Toplamsal cellular automatanın ölçüm entropisi

Abstract

ÖZET Bu çalışmada, olasılık ölçüm uzayı üzerinde tanımlanan toplamsal bir boyutlu Cellular Automata(CA) dönüşümünün ölçüm entropısı incelenmektedir. Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde gerekli tanım ve teoremlere yer verilmektedir. X herhangi bir küme olsun. X' in altkümelerinin bir a-cebiri X' in altkümelerinin bir Ji kolleksiyonudur. (X, j? ) çiftine ölçülebilir uzayı denir. (X, j? ) üzerinde bir sonlu ölçüm /ı : A -* R+ fonksiyonudur. Bir sonlu ölçüm uzayı (X, %., u ) üçlüsüdür, burada (X, Jl ) bir ölçülebilir uzay ve u de bir sonlu ölçümdür. Eğer /ı (X) = 1 ise (X, A, u )' ye olasılık uzayı denir. Eğer T ölçülebilir ve VAe J? için u(T_1 A) = n(A) ise T : X -> X dönüşümü bir ölçüm koruyandır denir. Böylece (X, Jl, u, T) dinamik sistemi elde edilir. İkinci bölümde, (X, Jl, n, T) üzerinde bir ölçümü koruyan dönüşümünün ölçüm entropisinin tanımı üç aşamadadır. Bu aşamalar aşağıdaki gibidir: H(Ç), h(T,Ş) ve h(T). Üçüncü bölümde, toplamsal bir - boyutlu Cellular Automatanın(CA) tanımlanmaktadır. X, -toplamsal bir - boyutlu Cellular Automata dönüşümü için bir üretici ayrışım bulunmaktadır. Daha sonra Kolmogorov-Sinai teoremi kullanılarak bu fonksiyonun ölçüm entropisi hesaplanmaktadır. Ayrıca yeni sonuçlar elde edilerek farklı şekilde verilen Cellular Automata fonksiyonun entropi değerlerinin aynı olduğu görülmektedir. ANAHTAR KELİMELER: Dinamik Sistem, Ölçüm Entropi, Cellular Automata 58

SUMMARY In this work, it is investigated the measure entropy of additive one-dimensional Cellular Autamata (CA) transformation defined on the probability measure space. This work consists of three chapters. In the first chapter, a necessary definitions and theorems are given. LetX be a set, a a-algebra of subsets of X is a collection jl of subsets of X. It is then called the pair (X, JÎ ) a measurable space. A finite measure on (X, J? ) is a function u:^-»R+. A finite measure space is a triple (X,j?,u), where (X,Jl) is a measurable space and p. is a finite measure on (X, ji ). We say (X, jl, /i) is probability space, if u(X) = 1. A transformation T : X-»X is measure-preserving if T is measureble and u(T-1 A) = u(A) for VAe JL So it is obtanied a dynamical system (X,^u,T). In the second chapter, the definition of the measure entropy of a measure- preserving transformation T of (X, X u, T) is in there stages. These stages are as follows: H(Ç), h(T,Ç) and h(T). In the third chapter, it is defined an additive one-dimensional Cellular Autamata (CA). It is foond a generating partition for the additive one-dimentional Cellular Autamata (CA) fm. Then it is calculated the measure theoretic entropy of this function by being used Kolmogorov-Sinai theorem. Apart from these by obtaning new results, it is seen that the entropy values of CA function given differently are same. KEY WORDS : Dynamical System, Measure Entropy, Cellular Automata 59