Toplamsal cellular automatanın kaotikliği ve entropi çeşitleri

Abstract

TOPLAMSAL CELLULAR AUTOMATANIN KAOTİKLİĞİ VE ENTROPİ ÇEŞİTLERİFeride ALTINGÖZÖZETTezimiz dört bölümden oluşmaktadır.İlk bölümünde, ihtiyaç duyulan gerekli tanım ve teoremler detaya girilmedenverilmektedir.İkinci bölümde ise ayrışım kavramı ve bir dinamik sistemin iki çeşit entropisi(topolojik ve ölçüm entropi) incelenmektedir.Üçüncü bölümde materyal ve yöntemler açıklanmaktadır.Son bölümde ise Devaney'in kaos tanımına göre kaotiklik daha detaylı olarakaçıklanmaktadır. Toplamsal bir-boyutlu CA'nın kaotik davranışı incelenmektedir.Özellikle Devaney'in kaos tanımına göre kaotikliğin şartları dikkatli bir biçimdeincelenmektedir. Devaney'in kitabında (1989) verilen bazı problemlerçözülmektedir. İyi bilinir ki eğer geçiş dönüşümü T f [ l ,r ] başlangıç şartlarına duyarlı,topolojik geçişken ve X üzerinde yoğun periyodik orbitlere sahip ise ( X , T f [l ,r ] )dinamik sistemi Devaney'in kaos tanımına göre kaotiktir. Favati ve ark., (1997)ispatladılar ki herhangi f lokal kuralı rightmost (leftmost) permütatif ise o zamanT f [ l ,r ] geçişkendir ve onlar aynı zamanda gösterdiler ki eğer p asal sayı olmak üzeref, Z p üzerinde tanımlanmış herhangi bir toplamsal yerel kural ise o zamanT f [ l ,r ] yoğun periyodik orbitlere sahiptir. Banks ve ark., (1992) ispatladılar ki eğerherhangi bir T dönüşümü yoğun periyodik orbitlere sahip ve o topolojik geçişken iseo zaman bu dönüşüm başlangıç şartlarına duyarlıdır. Böylece (Banks ve ark., 1992)ve (Favati ve ark., 1997) de elde edilen sonuçlar toplamsal bir-boyutlu CA'nın kaotikolduğunu ispatlamak için kullanılmaktadır. Z 2 üzerinde Favati ve ark., (1997)tarafından bulunan nf doğal sayısı (p bir asal sayıdır) cismineZpgenelleştirilmektedir. Ayrıca gösterilmektedir ki eğer toplamsal bir-boyutlu CAkaotik ise o zaman onun tersi ve n. ötelemesi de kaotiktir.

CHAOTICITY OF ADDITIVE CELLULAR AUTOMATA AND KINDS OF ENTROPYFeride ALTINGÖZSUMMARYOur thesis contains four chapter.In the first chapter necessary definitions and theorems that we need have beengiven without going into details.In the second chapter, the concept of partition and two kinds of entropy(topological and measure theoretical entropy) of a dynamical system have beeninvestigated.In the 3rd chapter the materials and methods have been explained.In the last chapter, the chaoticity according to Devaney?s definition of chaoshas been explained more detailed. The chaotic behavior of additive one-dimensionalCA has been studied. Especially the conditions of chaotic according to Devaney?sdefinition of chaos have been investigated carefully. Some problems given inDevaney?s book (1989) have been solved. It is well known that a dynamical system( X , T f [l ,r ] ) is chaotic according to Devaney?s definition of chaos if its transition mapT f [ l ,r ] is sensitive to initial conditions, topologically transitive, and has denseperiodic orbits on X . Favati et al. (1997) have proved that any local rule f isrightmost (leftmost) permutative then T f [ l ,r ] is transitive and they have also shownthat if f is any additive local rule defined on Z p , where p is a prime number, thenT f [ l ,r ] has dense periodic orbits. Banks et al. (1992) have proved that if anytransformation T has dense periodic orbits and it is topologically transitive, then it issensitive to the initial conditions. Thus, the results obtained in (Banks et al. 1992)and (Favati et al., 1997) have been used to prove that an additive one-dimensionalCA is chaotic. Some additive one-dimensional CA that are chaotic have beenobtained. The natural number n f which obtained by Favati et al. (1997) over Z 2 isgeneralized to the field Z p , where p is a prime number. Furthermore, it is shownthat if an additive one-dimensional CA is chaotic, then its inverse and nth iteration ofthis map are chaotic.